【培优版】北师大版数学八年级上册5.2求解一元二次方程组同步练习

试卷更新日期：2024-11-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $| x + y + 2 | + (2 x - 3 y - 1)^{2} = 0$ ，则 $x$ 、 $y$ 的值分别是( )

A、 $1$ ， $\frac{3}{5}$ B、 $- 1$ ， $- \frac{4}{5}$ C、 $- 1$ ， $- \frac{5}{4}$ D、 $- 1$ ， $- 1$

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2. 由方程组 $\{\begin{matrix} x - 3 = m \\ y = m - 5 \end{matrix}$ 可得出x与y的关系式是（）

A、 $x - y = 2$ B、 $x - y = 8$ C、 $x - y = - 2$ D、 $x - y = - 8$

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3. 已知 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 4 k ， \\ 2 x + y = 2 k + 1 \end{array}$ 的解满足 $y - x < 1$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 0$ B、 $k < 0$ C、 $k < 1$ D、 $k < \frac{1}{2}$

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4. 我们规定： $[m]$ 表示不超过 $m$ 的最大整数，例如： $[3.1] = 3$ ， $[0] = 0$ ， $[- 3.1] = - 4$ ，则关于 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} [x] + y = 3.2 \\ x - [y] = [3.2] \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 0.2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1.2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 3.3 \\ y = 0.2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3.4 \\ y = 0.2 \end{array}$

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5. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 5 ① \\ 3 x + c y = 2 ② \end{matrix}$ ，甲符合题意地解得 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$ 乙看错了方程②中的系数c，解得 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，则 ${(a + b + c)}^{2}$ 的值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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6. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{matrix}$ ，其中 $- 3 \leq a \leq 1$ ，给出下列结论：① ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = - 1 \end{matrix}$ 是方程的解；②当 $a = - 2$ 时， $x$ ， $y$ 的值互为相反数；③当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 - a$ 的解；④若 $x \leq 1$ ，则 $1 \leq y \leq 4$ ．其中正确的是（）．

A、①② B、②③ C、②③④ D、①③④

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7. 给定一个正整数 $k$ ，若两个整数 $p$ 与 $q$ 分别除以 $k$ 所得的余数相同，则称p，q对 $k$ 同余，记作 $p = q (m o d k)$ ．例如： $31 \div 7 = 4 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3$ ， $66 \div 7 = 9 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3$ ，所以31，66对7同余，记作 $31 = 66 (m o d 7)$ ．
下列说法：
① $1951 \equiv 2024 (m o d 3)$ ；②若 $p \equiv q (m o d 3)$ ，则 $5 p \equiv 2 q (m o d 3)$ ；③若 $p \equiv q (m o d k)$ ， $s \equiv t (m o d k)$ ，则 $p s \equiv q t (m o d k)$ ；④若 $M = 1000 a + 100 (b + 9) + 10 c + d$ ，其中 $a$ 为 $1 ~ 9$ 的整数，b，c，d为 $0 ~ 9$ 的整数，则 $M = (a + b + c + d) (m o d 9)$ ．
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

8. 若方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = a - 6 \\ 2 x + 5 y = 2 a \end{array}$ 的解满足 $x + y = 9$ ，则 $a$ 的值为．

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9. 已知方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = 14 \\ x + 2 y = 10 \end{cases}$ 的解为 ${\begin{cases} x = m \\ y = n \end{cases}$ ，则 $m + n$ 的值为．

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10. 关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 1 - m, \\ x - 3 y = 5 + 3 m \end{matrix}$ 中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为.

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11. 已知点 $A (a + 2 b, - 2)$ 和点 $B (- 1, a + 1)$ 关于 $y$ 轴对称，那么 $a + b =$ ．

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12. 在平面直角坐标系内，若两条直线 $l_{1} ： y = - x - 2$ 和 $l_{2} ： y = 2 x - b$ 的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为.

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三、计算题

13. 用指定的方法解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x - 3 y = 4 \\ 2 x + y = 13 \end{array}$ （代入法）；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 4 \\ x + 4 y = - 6 \end{array}$ （加减法）．

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四、解答题

14. 已知关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 3 ， \\ a x + b y = - 1 \end{array}$ 和关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 11 ， \\ 2 a x + 3 b y = 3 \end{array}$ 的解相同，求 $a$ 、 $b$ 的值.

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15. 我们用 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数，例如： $[2.5] = 2$ ， $[3] = 3$ ， $[- 2.5] = - 3$ ；用 $〈 a 〉$ 表示大于 $a$ 的最小整数，例如： $〈 2.5 〉 = 3$ ， $〈 4 〉 = 5$ ， $〈 - 1.5 〉 = - 1$ .解决下列问题：
（1） $[- 4.5]$ = ， $〈 3.5 〉$ = ；
（2）若 $[x]$ =2，则 $x$ 的取值范围是；若 $〈 y 〉$ =－1，则 $y$ 的取值范围是；
（3）已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{cases} 3 [x] + 2 〈 y 〉 = 3 \\ 3 [x] - 〈 y 〉 = - 6 \end{cases}$ ，求 $x$ ， $y$ 的取值范围.

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16. 若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程 ${\begin{cases} 4 a + 2 b - 18 = 0 \\ 4 b - 3 a + 8 = 0 \end{cases}$ ，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.

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17. 甲、乙两人同时解方程组 ${\begin{array}{l} m x + y = 5 ① \\ 2 x - n y = 13 ② \end{array}$ 甲解题看错了①中的 $m$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 3 \end{array}$ ，乙解题时看错②中的 $n$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 7 \end{array}$ ，试求原方程组的解．

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18. 对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算： $a \otimes b = 2 a + b$ ，例如 $1 \otimes 3 = 2 \times 1 + 3 = 5$ .

(1)、求 $4 \otimes (- 3)$ 的值；

(2)、若 $x \otimes (- y) = - 2$ ， $(2 y) \otimes x = - 1$ ，求 $x + y$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点 $A (0, m)$ 和 $B (n, 0)$ ，且m，n满足 $\{\begin{array}{l} 2 m + n = 5 \\ 3 m - 2 n = 18 \end{array}$ ．
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作 $A D ⊥ A B$ ，截取 $A D = A B$ ，点D在第一象限内，过点D作 $D C ⊥ x$ 轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使 $△ A C M$ 与 $△ A C D$ 全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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二、填空题

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