北师大版数学八年级上册第五章第3--5节专题训练

试卷更新日期：2024-11-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 10 \\ 5 x + 2 y = 8 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 5 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{array}$

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2. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 $⋯, ⋯$ ，试向买甜果苦果各几个?
若设买甜果 $x$ 个，买苦果 $y$ 个，可列出符合题意的二元一次方程组： ${\begin{array}{l} x + y = 1000, \\ \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 . \end{array}$ 根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）

A、甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B、甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C、甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D、甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱

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3. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用 $14$ 张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面 $.$ 已知每张卡纸可以裁出 $2$ 个侧面，或者裁出 $3$ 个底面，如果 $1$ 个侧面和 $2$ 个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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4. 某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A ， B两种劳动工具共145件，A ， B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A ， B两种劳动工具的件数分别为x ， y ，那么下面列出的方程组中正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 145 \\ 10 x + 12 y = 1580 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 145 \\ 10 x + 12 y = 1580 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 145 \\ 12 x + 10 y = 1580 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 145 \\ 12 x + 10 y = 1580 \end{array}$

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5. 有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音hú，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒 $x$ 斛，小桶可以盛酒 $y$ 斛，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 ， \\ x + 5 y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 ， \\ x + y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + 5 y = 3 ， \\ 5 x + y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 5 y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{array}$

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6. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 35 ， \\ 4 x + 2 y = 94 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 94 ， \\ 4 x + 2 y = 35 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 35 ， \\ 2 x + 4 y = 94 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 94 ， \\ 2 x + 4 y = 35 \end{array}$

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7. 我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 2 x + 4 y = 44 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 2 x + 2 y = 44 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 4 x + 4 y = 44 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 4 x + 2 y = 44 \end{array}$

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8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（）

A、 ${\begin{array}{l} 11 x = 9 y ， \\ (10 y + x) - (8 x + y) = 13 ． \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 10 y + x = 8 x + y ， \\ 9 x + 13 = 11 y ． \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y ， \\ (10 y + x) - (8 x + y) = 13 ． \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y \\ (8 x + y) - (10 y + x) = 13 ． \end{array}$

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9. 《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 11 x = 9 y \\ (10 y + x) - (8 x + y) = 13 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y \\ (8 x + y) - (10 y + x) = 13 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y \\ (10 y + x) - (8 x + y) = 13 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 11 x = 9 y \\ (8 x + y) - (10 y + x) = 13 \end{array}$

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10. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$

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二、填空题

11. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．

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12. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝．

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13. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：．

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14. 有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨.

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15. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 $\frac{2}{5}$ ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 $\frac{7}{20}$ ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是.

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16. 下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为.

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三、解答题

17. 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．

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18. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
B型机器人每台每天可分拣快递18万件．

(1)、求A、B两种型号智能机器人的单价；

(2)、现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

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19. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A ， B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．

(1)、求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？

(2)、若修建A ， B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？

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20. 某校积极开展劳动教育，两次购买A ， B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：

A型劳动用品（件）
B型劳动用品（件）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800

(1)、求A ， B两种型号劳动用品的单价；

(2)、若该校计划再次购买A ， B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A ， B两种型号劳动用品的单价保持不变）

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21. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株 $A$ 种花卉和3株 $B$ 种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．

(1)、求 $A, B$ 两种花卉的单㜾．

(2)、该物管中心计划采购 $A, B$ 两种花卉共计10000株，其中采购 $A$ 种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?并求出最少总费用．

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22. $A$ 、 $B$ 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售 $A$ 、 $B$ 两种型号的吉祥物，有关信息见下表：

成本（单位：元/个）
销售价格（单位：元/个）
$A$ 型号
35
a
$B$ 型号
42
$b$
若顾客在该超市购买8个 $A$ 种型号吉祥物和7个 $B$ 种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个 $A$ 种型号吉祥物和5个 $B$ 种型号吉祥物，则一共需要410元．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若某公司计划从该超市购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的吉祥物共90个，且购买 $A$ 种型号吉祥物的数量 $x$ （单位：个）不少于 $B$ 种型号吉祥物数量的 $\frac{4}{3}$ ，又不超过 $B$ 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为 $y$ 元，求 $y$ 的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．

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23. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.

(1)、求a ， b的值；

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

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24. 在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为 $m$ 元 $/$ 支，肉串的成本为 $n$ 元 $/$ 支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用） $:$
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．

(1)、求 $m$ 、 $n$ 的值；

(2)、五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串 $x$ 支，店主获得海鲜串的总利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价 $a (0 < a < 1)$ 元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求 $a$ 的最大值．

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A型机器人台数	B型机器人台数	总费用（单位：万元）
1	3	260
3	2	360

	A型劳动用品（件）	B型劳动用品（件）	合计金额（元）
第一次	20	25	1150
第二次	10	20	800

	成本（单位：元/个）	销售价格（单位：元/个）
$A$ 型号	35	a
$B$ 型号	42	$b$

水果种类	进价（元/千克）	售价（元/千克）
甲	a	22
乙	b	25

次数	数量（支）		总成本（元）
次数	海鲜串	肉串	总成本（元）
第一次	3000	4000	17000
第二次	4000	3000	18000