广东省广州市番禺区象贤中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）

1. 若集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 2},$ $B = Z$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1\}$

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2. 命题 $p : \forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定形式是（）

A、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ C、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x > \frac{2}{3} 且 x \neq 2}$ B、 ${x | x < \frac{2}{3} 且 x > 2}$ C、 ${x | \frac{3}{2} \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \geq \frac{3}{2} 且 x \neq 2}$

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4. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ D、 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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5. “ $x > 7$ ”是“ $x > 17$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7. 某企业一个月生产某种商品 $x$ 万件时的生产成本为 $C (x) = x^{2} + 4 x + 16$ （万元），每件商品售价为 $28$ 元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用 $w (x)$ （万元）表示，用 $\frac{w (x)}{x}$ 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（）

A、当生产 $12$ 万件时，当月能获得最大总利润 $144$ 万元 B、当生产 $12$ 万件时，当月能获得最大总利润 $160$ 万元 C、当生产 $4$ 万件时，当月能获得单件平均利润最大为 $24$ 元 D、当生产 $4$ 万件时，当月能获得单件平均利润最大为 $16$ 元

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8. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ， $f (- 1) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 3 t$ C、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$

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10. 对于任意的实数 $a ， b ， c ， d$ ，下列命题错误的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、 $\forall x \in R, f (f (x)) = 1$ D、存在 $x 、 y$ 是无理数， $f (x + y) = 1$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $f (x + 1) = x^{2} - 3 x + 2$ ，则 $f (x) =$ .

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13. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} - 1$ ，则 $f (2) + g (2) =$ ．

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14. 已知 $a \in R$ ，若函数 $y = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 2 a ， x > 1 \\ x^{3} ， x \leq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x < 2\}$ ， $B = \{x |1 < 2 x - 2 < 6\}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、已知R为实数集，求 $(∁_{R} A) \cup B$ ．

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16. 设函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 奇偶性并证明；

(2)、用单调性定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增．

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17. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} - 1, x > - 1 \\ - x - 2, x \leq - 1 \end{matrix}$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = 1$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(2)、若 $f (a) < a + 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{\frac{1}{m^{2} + m}} (m \in N^{*})$ ，该函数定义域为 $[0, + \infty)$ 且函数图象经过点 $(2, \sqrt{2})$

(1)、确定 $m$ 的值：

(2)、求满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ 的实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + {(x - a)}^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的开口方向和对称轴；

(2)、若 $f (x) > 2$ 对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上有最大值9，求a的值.

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