四川省什邡中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-20 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{x| x^{2} - x - 2 < 0\}$ ， $N = {x \in Z| 2 x + 1 > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 2 i$ ，则复数z的实部为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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3. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，则“ $a_{1} = 2$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据 $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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5. 若 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $3 x^{2} - λ x + 1 \geq 0$ 成立是真命题，则实数 $λ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $\frac{13}{2}$

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6. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到 $2$ 个面有颜色的小正方体的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图， $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点.若 $A$ 是 $B F_{2}$ 中点且 $B F_{1} ⊥ B F_{2}$ 则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 - a x, x \leq 1 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + (2 a^{2} + 2) x - \frac{11}{6}, x > 1 \end{cases}$ ，若对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 2 x_{1} - 2 x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- 2, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若数列 $\{a_{n} + S_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{\frac{ln a_{n}}{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 D、 $\{n (n - 1) a_{n}\}$ 最大项有两项

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10. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2$ ， $B B_{1} = \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别为棱 $B C$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} B ∥$ 平面 $A D C_{1}$ B、 $A D ⊥ C_{1} D$ C、异面直线 $A C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 \sin π x, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 2 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x \in [2 n, 2 n + 2] (n \in N^{*})$ 时， $f (x) = \frac{1}{2^{n}} \sin π (x - 2 n)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[2 n, 2 n + \frac{1}{2}] (n \in N^{*})$ 上单调递增 C、方程 $f (x) = \lg (x + 2)$ 有4个相异实根 D、若关于x的不等式 $f (x) \leq k (x - 2)$ 在 $[2, 4]$ 恒成立，则 $k \geq 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(2 x - y + 1)}^{5}$ 的展开式中，所有项的系数和为．

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13. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为．

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14. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{2}) - f (x_{1})) < 0$ ，有下列四个结论：
① $f (2) + f (3) + \dots + f (2022) = 0$
②点 $(2022, 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心；
③函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2022, 2022]$ 上有2023个零点；
④函数 $y = f (x)$ 在 $[7, 9]$ 上为减函数；
则所有正确结论的序号为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |\frac{x + 6}{3 - x} \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} \leq 16\}$ ，集合 $C = \{x |3 x + m < 0\}$ ．
（1）求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；
（2）若 $x \in C$ 是 $x \in A$ 的必要条件，求m的取值范围．

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16. 设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域和单调递增区间；

(2)、当 $f (α) = \frac{9}{5}$ ，且 $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ 时，求 $sin (2 α + \frac{2 π}{3})$ 的值．

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17. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 1 - 3^{x}$ .

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、当 $x \in [2, 4]$ 时，不等式 $f (\log_{2}^{2} x) + f (5 - a \log_{2} x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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18. 某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
$(A, A)$
$(A, B)$
$(B, A)$
$(B, B)$
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)、估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2)、记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， $P (M) > 0$ ，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明． $P (M |N) > Р (M |N)$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x - ln x \geq \frac{e^{x - 1}}{x} \cdot f (\frac{e^{x - 2}}{x})$ ；

(3)、若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 2} \geq 2 m x^{2} - x - x ln x$ 恒成立，求出 $m$ 的取值范围.

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选择餐厅情况（午餐，晚餐）	$(A, A)$	$(A, B)$	$(B, A)$	$(B, B)$
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天