2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷2

试卷更新日期：2024-10-12 类型：高考模拟

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一、填空题：

1. 已知集合 $A = {1, 4}$ ， $B = {a - 5, 7}$ .若 $A \cap B = {4}$ ，则实数a的值是.

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2. 已知 $i$ 是虚数单位.若 $i^{3} = a + b i (a, b \in R)$ ，则a+b的值为.

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3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是．

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4. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - x - 6}$ 的定义域是.

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5. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3} a$ ，则该双曲线的渐近线为．

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7. 如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ ， $A A_{1}$ 的中点，设三棱锥 $F - A D E$ 体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2} =$

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8. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{8} = 4$ ， $a_{7}^{2} - a_{3}^{2} = 32$ ，则 $S_{10}$ 的值为.

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x \leq 2 \\ \frac{1}{2} x - 1 ， x > 2 \end{array}$ ，则关于x的不等式 $f (- x) < f (1 - x)$ 的解集为.

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10. 如图，在△ $A B C$ 中， $\overset{⃑}{A D} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于点 $P$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B C} = 2$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的值为.

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11. 圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 0$ 与曲线 $y = \frac{2 x + 4}{x + 3}$ 相交于 $A, B, C, D$ 点四点， $O$ 为坐标原点，则 $|\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C} + \overset{⃑}{O D}| =$ .

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12. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC ，则sin²A+sin²B的最大值为．

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二、选择题：

13. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，判断下列结论：
（1）月接待游客量逐月增加；
（2）年接待游客量逐年增加；
（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；
（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳.
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + φ) + \cos (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ ，且其图像关于直线 $x = 0$ 对称，则

A、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数 B、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 上为增函数 C、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上为减函数 D、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 上为减函数

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15. 已知函数 $f (x) = (\ln x - 1) {(x - 2)}^{i} - m (i = 1, 2), e$ 是自然对数的底数，存在 $m \in R$ ，所以（）

A、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 B、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个 C、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 D、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个

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16. 实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ ，满足 $a_{1} = a_{9}$ ，且 $|a_{i} + a_{i + 2} - 2 a_{i + 1}| \leq 1 (i = 1, 2, \dots, 7)$ ，则对 $1 \leq i < j \leq 9$ ， $|a_{i} - a_{j}|$ 的最大值为 $M$ ，则

A、 $M = 7$ B、 $M = 8$ C、 $M = 9$ D、 $M = 10$

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三、解答题：

17. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\sin x, \frac{3}{4})$ ， $\overset{⃑}{b} = (\cos x, - 1)$ .
（1）当 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ 时，求 $\tan 2 x$ 的值；
（2）设函数 $f (x) = 2 (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{b}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的最大值以及对应的x的值.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = B C$ ， D，E分别是 $A C ， A_{1} B$ 的中点.
（1）求证：DE∥平面 $B C C_{1} B_{1}$
（2）若 $A B ⊥ D E$ ，求证：平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

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19. 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $∠ O A B = θ$ ，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于 $θ$ 的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积S的最小值及此时 $\tan θ$ 的值．

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20. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求 $r$ 的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 $l$ 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若 $2 \vec{M B} = 3 \vec{M A}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②设直线NA的斜率为 $k_{1}$ ，直线NB的斜率为 $k_{2}$ ，问： $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + a x (a \in R)$ .
（1）若 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y + b = 0$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值：
（2）求证：当 $a < - 2$ 时， $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点：
（3）设 $g (x) = |f (x)| \frac{1}{x e^{x}}$ ，若 $g (x)$ 在 $[1, e]$ 单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.（其中 $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数）

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