2025届湖南省益阳市一模数学试题

试卷更新日期：2024-09-11 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = \{x | \log_{2} x < 1\}$ ， $M = A \cap B$ .则 $M$ 是（）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| z - i | = 2$ ，则复数 $z$ 在复平面上对应的点的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 2$ ， $a_{4} + a_{6} = 16$ ，则 $a_{10} + a_{12} =$ （）

A、26 B、32 C、512 D、1024

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4. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{- 1} (x < 0) \\ \sin π x (x \geq 0) \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $F : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的焦点重合，则双曲线 $F$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A E}$ ，若 $\vec{A F} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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7. 已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ， $C_{2} : y^{2} = 8 x$ 的焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的点，且线段 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，则下列结论错误的是（）

A、当 $| P Q | = \frac{1}{2}$ 时， $△ F_{1} P Q$ 是直角三角形 B、当 $| P Q | = \frac{4}{3}$ 时， $△ F_{2} P Q$ 是等腰三角形 C、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是菱形 D、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是矩形

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 3$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上单调递增

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ，对于任意实数 $a$ ， $b$ ，下列结论成立的有（）

A、 $f {(x)}_{\min} = 1$ B、函数 $f (x) = e^{x} - x$ 在定义域上单调递增 C、曲线 $f (x) = e^{x} - x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是 $y = 1$ D、若 $a = - b > 0$ ，则 $f (a) > f (b)$

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，且 $B_{1} P = 2 P B$ ， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、若 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹是一条长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的线段 B、不存在点 $Q$ ，便得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的最大体积为 $\frac{5}{18}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 且 $D_{1} Q$ 与平面 $A_{1} P D$ 所成的角最大时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积为 $\frac{1}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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13. 在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为.

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14. 已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 $k \in N^{*}$ ，定义集合 $B_{k} = \{i \in N^{*} | a_{l} < k\}$ ，设 $b_{k}$ 为集合 $B_{k}$ 中元素的个数，若 $B_{k} = \emptyset$ 时，规定 $b_{k} = 0$ .
（1）若 $a_{n} = 3^{n}$ ，则 $b_{10} =$ ；
（2）若数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前50项之和为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \sin C - c \cos A - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值.

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16. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意
不满意
总计
男游客
35

女游客

15

合计

100

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，依据表中数据，以及小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?

(2)、从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 $X$ .求出 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $E F / / A D$ ， $A D = 4$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = E F = 2$ ， $A F = \sqrt{11}$ ， $F B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $A D$ 上一点，且 $F M ⊥ A D$ ，连接 $B D$ 、 $B E$ 、 $B M$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B F M$ ；

(2)、求平面 $A B F$ 与平面 $D B E$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知两点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 及一动点 $P$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{4}$ ，动点 $P$ 的轨迹记为 $C$ .过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $B N$ 交于点 $Q$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ A M N$ 的面积的最大值；

(3)、求点 $Q$ 的轨迹方程.

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19. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，且曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ 过点 $(0, 2 e^{2})$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、证明：若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，则 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ；

(3)、若 $G (x) = f (x) + x + \ln \frac{a}{2} \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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	满意	不满意	总计
男游客	35
女游客		15
合计			100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879