四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练（一模）考试数学试题

试卷更新日期：2024-10-27 类型：高考模拟

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求．

1. 若随机变量 $X \sim N (6, 1)$ ，且 $P (5 < X \leq 7) = a$ ， $P (4 < X \leq 8) = b$ ，则 $P (4 < X \leq 7)$ 等于（）

A、 $\frac{b - a}{2}$ B、 $\frac{b + a}{2}$ C、 $\frac{1 - b}{2}$ D、 $\frac{1 - a}{2}$

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2. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）

A、18 B、21 C、54 D、63

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3. 设圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，点 $A$ ， $B$ 分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $M$ 为直线 $y = x + 1$ 上的动点，则 $|M A| + |M B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2} - 3$ D、 $6 \sqrt{2} + 3$

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4. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $3 m x + (m - 2) y + m = 0$ ，则“ $m = 5$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）

A、192种 B、252种 C、268种 D、360种

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6. 设 $△ A B C$ 的三个顶点为复平面上的三点 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，满足 $z_{1} z_{2} z_{3} = 0$ ， $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 8 + 2 i$ ， $z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{1} z_{3} = 15 + 10 i$ ，则 $△ A B C$ 内心的复数坐标 $z$ 的虚部所在区间是（）.

A、 $(0.5, 1)$ B、 $(0, 0.5)$ C、 $(1, 2)$ D、前三个选项都不对

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7. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = 2$ ， $\frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\sin A}{2 - \cos A}$ ， M和N分别是 $△ A B C$ 的重心和内心，且 $M N / / B C$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8. 正整数 $a, b, c \in \{1, 2, \dots, 100\}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ ， $a > b > c$ ，满足这样条件的 $(a, b, c)$ 的组数为（）．

A、60 B、90 C、75 D、86

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．

9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，是函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ 的两个零点，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的可能值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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10. 曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{4}}{a^{4}} + \frac{y^{4}}{b^{4}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，下列对曲线 $C$ 的描述正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点对称 B、曲线 $C$ 与椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 无公共点 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积大于椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 围成的封闭图形的面积 D、曲线 $C$ 上的点到原点距离的最大值为 $a$

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 是 $C C_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、若 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $P - B Q D$ 的体积为定值 B、三棱锥 $A_{1} - B Q D$ 外接球的半径为 $\frac{\sqrt{66}}{6}$ C、若 $A Q$ 与平面 $A C$ ，平面 $A D_{1}$ ，平面 $A B_{1}$ 所成的角分别为 $θ_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ），则 $\sum_{i = 1}^{3} {cos}^{2} θ_{i} = 2$ D、若平面 $A B Q$ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 $θ_{i} (i = 1, \dots, 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} {sin}^{2} θ_{i} = 4$

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三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分．

12. 曲线 $y = |\ln x|$ 在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ；若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交点的横坐标为 $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} =$ ．

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13. 设函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，其中 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三条边长，且有 $c > a, c > b$ ．给出下列四个结论：
①若 $a = b$ ，则 $f (x)$ 的零点均大于1；
②若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则对任意 $x \in (0, + \infty), a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意 $x \in (- \infty, 1], f (x) > 0$ ；
④若 $△ A B C$ 为直角三角形，则对任意 $n \in N^{*}, f (2 n) ⩽ 0$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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14. 设 $a ， b > 0$ ，满足：关于x的方程 $\sqrt{| x |} + \sqrt{| x + a |} = b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = b$ ，则 $a + b$ 的值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤．

15. 已知圆 $C$ ： ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $A (1, 0)$ ， $P$ 为圆 $C$ 外一点，直线 $P Q$ 与圆 $C$ 相切于点 $Q$ ， $P Q = \sqrt{2} P A$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中的点 $P$ 的轨迹为 $T$ ，是否存在斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ ，使以 $l$ 被曲线 $T$ 截得得弦 $M N$ 为直径得圆过点 $B (- 2, 0)$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

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16. 随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.

(1)、求第二天获得优惠金额的数学期望；

(2)、记“第 $i$ 天抽取1张奖券”的概率为 $P_{i}$ ，写出 $P_{i}$ 与 $P_{i + 1}$ 的关系式并求出 $P_{i}$ .

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17. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}, g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，设 $h (x) = a f (x) - g (x)$ .
（i）若 $a = 3$ ，求 $h (x)$ 的极值；
（ii）若 $h (x)$ 有3个零点，求 $a$ 的值.

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18. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，在空间任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D P = D A = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点， $|\vec{A D} \times \vec{B P}| = 8 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $E$ 为 $A D$ 的中点，求二面角 $P - E B - A$ 的余弦值；

(3)、若 $M$ 为 $P B$ 上一点，且满足 $\vec{A D} \times \vec{B P} = λ \vec{E M}$ ，求 $|λ|$ .

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19. 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 $n + 1$ 个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合 $A = {α | α = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}), t_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, \dots, n}$ .对于集合A中的任意元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} + |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} + |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} + |x_{n} - y_{n}|)]$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，岩 $α = (0, 1, 1)$ ， $β = (0, 0, 1)$ ，求 $M (α, α)$ 和 $M (α, β)$ 的值；

(2)、当 $n = 4$ 时，对于A中的任意两个不同的元素 $α$ ， $β$ ，证明： $M (α, β) \leq M (α, α) + M (β, β)$ .

(3)、给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素 $α$ ， $β$ ， $M (α, β) = M (α, α) + M (β, β)$ .写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.

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