广东省珠海市梅华中学子期中学2024-2025学年九年级上学期10月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-07 类型：期中考试

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的根的情况是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $90 °$ C、 $110 °$ D、 $140 °$

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4. 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（　　）

A、逆时针旋转120°得到 B、逆时针旋转60°得到 C、顺时针旋转120°得到 D、顺时针旋转60°得到

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5. 已知方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的两个根是 $a ， b$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、6 D、 $- 6$

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6. 若点 $(0, y_{1}), (1, y_{2}), (2, y_{3})$ 都在二次函数 $y = x^{2}$ 的图象上，则（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ C D B = 60 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数等于（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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8. 由二次函数 $y = 2 (x - 3)^{2} + 1$ 可知（）

A、其图象的开口向下 B、其图象的对称轴为 $x = - 3$ C、其最大值为 $1$ D、当 $x < 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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9. 如图，把 $△ A B C$ 绕 $C$ 点按顺时针旋转 $40 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ．点 $B^{'}$ 落在边 $A B$ 上，若 $A^{'} B^{'} ⊥ A C$ 于点 $D$ ，则 $∠ A B^{'} D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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10. 函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与 $y = a x + b$ 的图象可能是（     ）

A、    B、
    C、
    D、


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二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）

11. 点 $(1 ， - 5)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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12. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向右平移 $2$ 个单位，向上平移 $3$ 个单位得到．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 5 x - m = 0$ 的一个根是2，则该方程的另一个根是．

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14. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上 $.$ 若设 $A E = x$ ，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ C = 90 °, A B = A D, A E ⊥ B C$ ，垂足是E，若线段 $A E = 4$ ，则S_四边形_ABCD= ．

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三、解答题（一）（本大题3小愿，每小题7分，共21分）

16. （1）解方程： $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ；
（2）若 $y = x^{2} + 8 x - 9$ ，请直接写出 $y < 0$ 时x的取值范围．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标 $(1, 3)$ ，请解答下列问题：画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并求出 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 $⊙ O$ 中弦 $C D$ 的中点， $E M$ 经过圆心O交圆O于点E，并且 $C D = 4 m, E M = 6 m$ ．求 $⊙ O$ 的半径．

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四、解答题（二）．（木大题3小题每小题9分，共27分）

19. 如图，正方形 $O P N M$ 和正方形 $A B C D$ 全等， $A C$ 与 $B D$ 交于点O，正方形 $O P N M$ 绕点O旋转， $O M$ 交 $A B$ 于点E， $O P$ 交 $B C$ 于F，如果正方形的边长为3．

(1)、在上述旋转过程中，判断 $O E$ 与 $O F$ 有怎样的数量关系，并证明；

(2)、请直接写出四边形 $O E B F$ 的面积为__________，周长最小值为___________．

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20. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为10，弦 $B C$ 为6， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，弦 $B D$ 和 $C E$ 交于点 $F$ ，且 $D F = D C$ ．

(1)、求证： $E B = E F$ ；

(2)、求证： $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{A E}$ ；

(3)、求 $C E$ 的长．

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21. 跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手 $A$ 、 $B$ 离地面高度都为1米，现以地面为 $x$ 轴，过点 $A$ 向地面作的垂线为 $y$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， $A B = 6$ 米，绳子甩到最高处 $C$ 点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．

(1)、求此时绳子所对应的抛物线表达式；

(2)、身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离 $A$ 点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？

(3)、若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？

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五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题4分，共27分）

22. 【课本再现】
（1）如图1， $△ A B D, △ A E C$ 都是等边三角形． $B E$ 与 $C D$ 交于点O，试猪想 $B E$ 与 $C D$ 之间的数量关系，并证明．
【深入研究】
（2）在（1）的条件下，证明 $O A$ 平分 $∠ D O E$ ．
【探究应用】
（3）如图2， $△ A E C, △ A B D$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 °, A D = A B, A C = A E$ 连接 $B C ， D E$ ，点M是 $B C$ 的中点，判断 $A M$ 与 $D E$ 之间的关系，并证明．

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23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；
（2）已知点 $P_{1} (- 2, 1), P_{2} (2, - 1), P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： $y = k x + 1$ 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ M A N = 90 °$ ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证： $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等．

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