广东省江门市蓬江区第九中学2024-2025学年九年级上学期数学期中卷

试卷更新日期：2024-11-05 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径为5，点P到圆心O的距离为 $3.5$ ，则点P在（）

A、圆外 B、圆上 C、圆内 D、不能确定

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3. 用配方法解一元二次方程x²﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）

A、（x﹣6）²=﹣4+36 B、（x﹣6）²=4+36 C、（x﹣3）²=﹣4+9 D、（x﹣3）²=4+9

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 2 x + m^{2} - 4 = 0$ 有一个根为0，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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5. 如图，在⊙O中， $\overset{⌢}{A B}$ = $\overset{⌢}{A C}$ ， ∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）

A、40° B、30° C、20° D、15°

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6. 关于抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ ，下列说法错误的是（）

A、抛物线开口向上 B、对称轴为直线 $x = 1$ C、顶点坐标是 $(1, - 2)$ D、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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7. 将抛物线 $y = 3 x^{2}$ 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）

A、 $y = 3 (x - 1)^{2} + 2$ B、 $y = 3 (x + 1)^{2} - 2$ C、 $y = 3 (x + 1)^{2} + 2$ D、 $y = 3 (x - 1)^{2} - 2$

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8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 $560$ 元降为 $315$ 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）

A、 $560 {(1 + x)}^{2} = 315$ B、 $560 (1 - x^{2}) = 315$ C、 $560 (1 - 2 x) = 315$ D、 $560 {(1 - x)}^{2} = 315$

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9. 如图所示，已知 $⊙ O$ 的内接正四边形 $A B C D$ ，则 $∠ A E B$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $60 °$ 或 $120 °$ D、 $135 °$

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10. 在同一直角坐标系中，一次函数 $y = - a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} - b$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是.

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12. 在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是．

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13. 方程 $(x - 1)^{2} = 25$ 的解是．

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14. 将含有 $30 °$ 角的直角三角板 $O A B$ 如图放置在平面直角坐标系中， $O B$ 在x轴上，若 $A B = 2$ ，将三角板绕原点O逆时针旋转 $60 °$ ，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标为．

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15. 抛物线 $y = a x^{2}$ 的图象经过点 $A (3, - 3)$ ，这个函数的解析式为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 经过平移后得到抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ ，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．

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三、解答题（一）（本大题共3题，每题6分，共18分）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 5$ ；

(2)、 $x (x - 3) + x - 3 = 0$ ．

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18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, - 4) ， B (4, - 4) ， C (1, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求点B到 $B_{2}$ 经过的路径长（结果保留π）．

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19. 如图，圆形油槽装入油后，油深 $C D$ 为 $16 cm$ ，油面宽度 $A B$ 为 $48 cm$ ，求圆形油槽的直径．

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四、解答题（二）（本大题共6题，共54分）

20. 如图，花圃基地要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．

(1)、若矩形 $A B C D$ 的面积为182平方米，求矩形的边 $A B$ 的长．

(2)、要想使花圃的面积最大， $A B$ 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以点C为圆心， $C A$ 长为半径的圆交 $A B$ 于点D．

(1)、若 $∠ B = 28 °$ ，求 $∠ A C D$ 的度数；

(2)、若D是 $A B$ 的中点， $A B = 2$ ，求阴影部分的面积；

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22. 某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促进情售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可以售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：

(1)、降价后，每件商品盈利______元，日销售______件．（用含x的代数式表示）

(2)、在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，D为 $A C$ 的中点，过C作 $⊙ O$ 的切线交 $O D$ 的延长线于E，交 $A B$ 的延长线于F，连 $E A$ ．

(1)、求证： $E A$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $C E = 3$ ， $C F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 如图，已知 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，先把 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 至 $△ D B E$ 后，再把 $△ A B C$ 沿射线平移至 $△ F E G ， D E 、 F G$ 相交于点H．

(1)、判断线段 $D E 、 F G$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、连接 $C G$ ，求证：四边形 $C B E G$ 是正方形．

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ 两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上运动到什么位置时，满足 $S_{△ P A B} = 6$ ，并求出此时P点的坐标；

(3)、点Q是直线 $B C$ 下方抛物线上一点，当Q运动到什么位置， $△ B C Q$ 的面积最大，求出面积的最大值和此时点Q的坐标．

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