广东省珠海市文园中学（集团）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续 $9$ 年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过 $60 %$ ． $2024$ 年 $5$ 月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米 $S U 7$ 汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 5 x - 1 = 0$ 的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（）

A、1，5，1 B、0，5， $- 1$ C、1，5， $- 1$ D、0，5，1

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3. 已知 $⊙ O$ 的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（）

A、 $⊙ O$ 的内部 B、 $⊙ O$ 的外部 C、 $⊙ O$ 上或 $⊙ O$ 的内部 D、 $⊙ O$ 上或 $⊙ O$ 的外部

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4. 如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 40 °$ ，将三角形 $A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 得到三角形 $A D E$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $60 °$

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5. 将二次函数 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ 的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} - 5$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} + 1$ D、 $y = {(x + 3)}^{2} - 5$

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6. 2023年春节期间（1月20日至1月25日），圆通速递实行“春节不打烊”．某快递员在一线提供正常揽派服务，第一天揽件400件，第三天揽件442件，设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $400 {(1 + x)}^{2} = 442$ B、 $400 {(1 - x)}^{2} = 442$ C、 $400 (1 + 2 x) = 442$ D、 $400 (1 - 2 x) = 442$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ A O C = 50 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $50 °$ D、 $65 °$

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8. AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）

A、1或7 B、7 C、1 D、3或4

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的自变量 $x$ （表格中 $x$ 从左到右增大）与函数值 $y$ 的对应值如下表：
$x$
$\dots$
0
$x_{1}$
$x_{2}$
1
3
$x_{3}$
$\dots$
$y$
$\dots$
1
$y_{1}$
$y_{2}$
0
1
$y_{3}$
$\dots$
下列判断正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到矩形 $A E F G$ ，点 $B$ 的对应点 $E$ 落在 $C D$ 上，且 $D E = E F$ ，则 $\frac{S_{四边形 A B C E}}{2 S_{△ A D E}}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 的对称轴是．

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12. 在直角坐标系中，若点 $A (1, a)$ ，点 $B (b, - 2)$ 关于原点中心对称，则 $a + b =$ ．

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13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (k - 1) x - 3 = 0$ 的一个根是 $1$ ，则另一个根是．

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14. 把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 $C D = 4$ ，则 $E F =$ ．

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ．有如下结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $5 a + b + 2 c < 0$ ；④ $a m^{2} + b m \leq a + b$ （ $m$ 为实数）．其中正确的结论有（填序号）．

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三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

16. 解方程：x²﹣4x+1=0

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17. 用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为 $75 {cm}^{2}$ 的矩形？如果能，说明围法，如果不能说明理由．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 1, - 2)$ ， $B (0, - 3)$ ， $C (2, 0)$ ，在图中的平面直角坐标系中：

(1)、画出 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°后得到的 $△ A^{'} B^{'} C$ ；

(2)、直接写出 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 的坐标．

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四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 如图， $A B$ 、 $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条弦， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E， $A B = C D$ ．

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、连接 $B C ，$ 作直线 $E O ，$ 求证： $E O ⊥ B C$ ．

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20. 定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点 $(1, 1)$ 是函数 $y = - 2 x + 3$ 的不动点．已知二次函数 $y = x^{2} + 2 (b + 2) x + b^{2}$ （ $b$ 是实数）．

(1)、若点 $(- 1, - 1)$ 是该二次函数的一个不动点，求 $b$ 的值；

(2)、若该二次函数始终存在不动点，求 $b$ 的取值范围．

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21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件童装降价x元时，每天可销售件________；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？
（3）当x取何值时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？

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五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）

22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线 $A E D$ 构成，其中 $A B = 3 m$ ， $B C = 4 m$ ，取 $B C$ 中点O，过点O作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点E，若以O点为原点， $B C$ 所在直线为x轴， $O E$ 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)、如图，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0, 4)$ ，求抛物线的解析式；


(2)、如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；


(3)、如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 $B K$ ，求 $B K$ 的长．


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23. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点， $A E = 2$ ， $B E = 4$ ， $∠ A E B = 90 °$ ，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转 $α$ 度（ $0 \leq α \leq 180 °$ ）点B、E的对应点分别为点 $B^{'}$ 、 $E^{'}$ ．
【问题解决】

(1)、如图2，在旋转的过程中，点 $B^{'}$ 落在了AC上，求此时 $C B^{'}$ 的长；

(2)、若 $α = 90 °$ ，如图3，得到 $△ A D E^{'}$ （此时 $B^{'}$ 与D重合），延长BE交 $D E^{'}$ 于点F，
①试判断四边形 $A E F E^{'}$ 的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；

(3)、在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段 $C E^{'}$ 长度的取值范围．

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$x$	$\dots$	0	$x_{1}$	$x_{2}$	1	3	$x_{3}$	$\dots$
$y$	$\dots$	1	$y_{1}$	$y_{2}$	0	1	$y_{3}$	$\dots$