广东省珠海市第九中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-12 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} = 2021$ B、 $x (x + 6) = 0$ C、 $a^{2} x - 5 = 0$ D、 $4 x - x^{3} = 2$

查看试题解析
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 一元二次方程 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

查看试题解析
4. 配方法解方程 $2 x^{2} - \frac{4}{3} x - 2 = 0$ 应把它先变形为（）

A、. $(x - \frac{1}{3})^{2} = \frac{8}{9}$ B、 $(x - \frac{2}{3})^{2} = 0$ C、 $(x - \frac{2}{3})^{2} = \frac{8}{9}$ D、 $(x - \frac{1}{3})^{2} = \frac{10}{9}$

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = (x + 1)^{2} + 3$ 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 4$ D、 $y = (x + 3)^{2} + 4$

查看试题解析
6. 已知抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 1$ ，下列结论错误的是（）

A、抛物线开口向上 B、抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ C、抛物线的顶点坐标为 $(2 ， 1)$ D、当 $x < 2$ 时，y随x的增大而增大

查看试题解析
7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了 $56$ 件小礼物，如果参加这次聚会的人数为 $x$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $x (x + 1) = 56$ B、 $x (x - 1) = 56$ C、 $2 x (x + 1) = 56$ D、 $x (x - 1) = 56 \times 2$

查看试题解析
8. 无论 $a$ ， $b$ 为何值代数式 $a^{2} + b^{2} + 6 b + 11 - 2 a$ 的值总是（）

A、非负数 B、 $0$ C、正数 D、负数

查看试题解析
9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， A B = 12$ ，把 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D E$ ，连接 $C D$ ，当 $C D = 2 \sqrt{3}$ 时， $A C$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、10 C、 $2 \sqrt{21}$ D、 $\sqrt{21}$

查看试题解析
10. 已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5， $B E = A F$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，则下列结论① $△ B E C ≌ △ A F C$ ；② $△ E C F$ 为等边三角形；③ $∠ A G E = ∠ A F C$ ；④若 $A F = 2$ ，则 $\frac{G F}{E G} = \frac{2}{3}$ ，正确的有几个（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 一元二次方程x²=2x的根是．

查看试题解析
12. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的对称轴是直线．

查看试题解析
13. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．

查看试题解析
14. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 2$ ，当 $- 1 \leq x \leq 3$ 时，y的取值范围内是．

查看试题解析
15. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点E是线段 $A C$ 上异于A，C的动点，将线段 $B E$ 绕着点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $B F$ ，连接 $C F$ ，则 $△ C E F$ 的最大面积为．

查看试题解析

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

16. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{1}{4} = 0$ ．

查看试题解析
17. 如图．在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (1, 1), B (4, 1), C (5, 3)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A 、 B 、 C$ 分别对应 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 以 $O$ 为旋转中心，顺时针旋转 $90 °$ ，点 $A 、 B 、 C$ 分别对应 $A_{2} 、 B_{2} 、 C_{2}$ ，谋画出旋转后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

查看试题解析
18. 如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650$ $m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

查看试题解析

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．

(1)、当 $x = 60$ 时， $p =$ ________；

(2)、当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？

(3)、小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大”．你认为小强的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

查看试题解析
20. 综合与实践
主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题．

(1)、数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________．
$91 \times 99$ ， $92 \times 98$ ， …， $98 \times 92$ ， $99 \times 91$ ．

(2)、阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路．
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为 $(10 - x)$ ，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式；

(3)、问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由；
$901 \times 999$ ， $902 \times 998$ ， …， $998 \times 902$ ， $999 \times 901$ ．

查看试题解析
21. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处起跳，经空中飞行后落在着陆坡 $B C$ 上的点 $P$ 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面 $O B$ 的竖直距离 $y$ $($ 单位： $m)$ 与他在水平方向上移动的距离 $x$ $($ 单位： $m)$ 近似满足二次函数关系 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + b x + c$ ．已知 $O A = 70 m, O C = 60 m$ ，落点 $P$ 到 $O C$ 的水平距离是 $30 m$ ，到地面 $O B$ 的竖直高度是 $37.5 m$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(2)、进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离 $x$ （ $m$ ）与飞行时间 $t$ （秒）
具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时， $t = 0, x = 0$ ；当他在点 $P$ 着陆时，飞行时间为 $5$ 秒．
①求 $x$ 与 $t$ 的函数表达式；
②当运动员与着陆坡 $B C$ 在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间 $t$ 的值．

查看试题解析

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．

22. 等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点P为平面内一点．

(1)、如图1，当点P在边 $B C$ 上时，且满足 $∠ A P C = 120 °$ ，求 $\frac{B P}{C P}$ 的值；

(2)、如图2， $△ A B C$ 内点P满足 $∠ A P C = 60 °$ ，连接BP．若 $A P = 3$ ， $P C = 7$ ，求BP的长；

(3)、如图3，点P为 $△ A B C$ 内一点， $A C = 6$ ，直接写出 $P A + P B + P C$ 的最小值为______．

查看试题解析
23. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 $(- 1, 0)$ ，点B坐标为 $(3, 0)$ ．

(1)、求此抛物线的函数解析式．

(2)、点P是直线 $B C$ 上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线 $B C$ 于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究 $2 P D + P E$ 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．

(3)、点M为该抛物线上的点，当 $∠ M C B = 45 °$ 时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

查看试题解析