浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-02-07 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $B = \{x |(x + 6) (x - 5) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 1, 4\}$ B、 $\{- 8, - 5, - 2, 1\}$ C、 $\{- 5, - 2, 1\}$ D、 $\{- 5, - 2, 1, 4\}$

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2. 在复平面上，复数 $\frac{5}{i - 2}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (k, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (k, 0, - 2)$ ，则“ $k = 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则（）

A、 $\{S_{n}\}$ 为等比数列 B、 $\{S_{n}\}$ 为等差数列 C、 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 为等差数列

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6. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 m y + 4 m^{2} + 8 = 0$ （ $m \neq 0$ ， $m \in R$ ）与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 m y + m^{2} - 4 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、外离 D、与m的取值有关

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7. 已知空间内三点 $A (1, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 0)$ ， $C (0, 3, 1)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离是（）．

A、 $\sqrt{6}$ B、1 C、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点，椭圆上一点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 5 ∠ P F_{1} F$ ，则该椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 2) = f (2)$ B、 $f (0) = 0$ C、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有最小值 $- 2$ ，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有最大值2 D、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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10. 对于直线l： $m x + n y - 3 m = 0$ （ $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ， $m, n \in R$ ），下列说法正确的是（）

A、直线l的一个方向向量为 $(n, - m)$ B、直线l恒过定点 $(3, 0)$ C、当 $m = \sqrt{3} n$ 时，直线l的倾斜角为60° D、当 $m = - 2$ 且 $n > 0$ 时，l不经过第二象限

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11. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最大项，则 $d < 0$ C、若数列 ${S_{n}}$ 是递增数列，则对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $S_{n} > 0$ D、若对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是递增数列

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F满足 $\vec{A_{1} F} = x \vec{A_{1} D_{1}}$ ， $\vec{A E} = y \vec{A D} + z \vec{A B}$ ，且x，y， $z \in (0, 1)$ ．记EF与 $A A_{1}$ 所成角为 $α$ ， $E F$ 与平面ABCD所成角为 $β$ ，则（）

A、若 $z = \frac{1}{3}$ ，三棱锥E-BCF的体积为定值 B、若 $x = y = z = \frac{1}{2}$ ，则 $A E ⊥ B F$ C、 $\forall x, y, z \in (0, 1)$ ， $α + β = \frac{π}{2}$ D、 $\forall x \in (0, 1)$ ，总存在 $y = z$ ，使得 $E F / /$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为．

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14. 已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M (p, 0)$ ，若 $|A F| = |A M|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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15. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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16. 在三棱锥 $O - A B C$ 中， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 6$ ， $∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O C = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $|\vec{M N}| =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前10项和．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \sin B = b \cos A$ ，且边AB上的高等于 $\frac{1}{4} A B$ ．

(1)、求角A的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为18，求边BC的长．

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19. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + 4$ ．

(1)、若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当 $∠ A O B = 90 °$ 时，求k的值；

(2)、若 $k = \frac{1}{2}$ 时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形 $O C P D$ 的面积的最小值．

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20. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为AC和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证： $B F ⊥ D E$ ：

(2)、当 $B_{1} D = 1$ 时，求平面 $B B_{1} C_{1} C$ 与平面 $D E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 117$ ， $a_{3} + 18$ 是 $a_{2}$ ， $a_{4}$ 的等差中项．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，数列 $\{(b_{n + 1} - b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前n项和等于 $n^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

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22. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线 $l$ 与C的右支相交于A，B两点．

(1)、当直线 $l$ 与x轴垂直，且 $A, B$ 两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；

(2)、若双曲线C的焦距为4，且 $0 ° < ∠ A O B < 90 °$ 恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．

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