北京市陈经纶中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

试卷更新日期：2024-11-11 类型：期中考试

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一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）

A、1，2，3 B、1，2，4 C、2，3，4 D、2，2，4

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3. 下列各图中，作 $△ A B C$ 边 $A C$ 边上的高，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，点 $(- 3, - 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点是（）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(- 2, - 3)$

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5. 若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（　　）

A、六边形 B、七边形 C、八边形 D、九边形

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6. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ，点E在 $A B$ 边上， $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、30° B、40° C、45° D、50°

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7. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， $O A$ 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到 $O A$ 的水平距离 $B D$ 、 $C E$ 分别为 $1.4 m$ 和 $1.8 m$ ， $∠ B O C = 90 °$ ．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）

A、 $1 m$ B、 $1.6 m$ C、 $1.8 m$ D、 $1.4 m$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 、 $∠ E A C$ 的角平分线 $B P$ 、 $A P$ 交于点P，延长 $B A$ 、 $B C$ ， $P M ⊥ B E$ ， $P N ⊥ B F$ ，则下列结论中正确的个数（）
① $C P$ 平分 $∠ A C F$ ； ② $∠ A B C + 2 ∠ A P C = 180 °$ ；
③ $∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ； ④ $S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是．

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A - ∠ B = 30 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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11. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线，将 $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 折叠，点A落在点F处， $B F$ 交边 $C D$ 于点E，若 $∠ A B D = 25 °$ ，则 $∠ C D F$ 的度数为 $°$ ．

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12. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点E．若 $∠ A = 36 °$ ， $∠ B D C = 76 °$ ，则 $∠ B D E =$ °．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C = 30 °$ ，点D是 $A B$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ A B$ 交 $B C$ 于点E， $D E = 2$ ，则 $C E$ 的长度为．

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14. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ 于点E， $E F ⊥ A B$ 于点F，已知 $B C = 16$ ，则 $B F$ 的长为．

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15. 如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是．

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16. 在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架 $P A B Q$ ，其中 $A B = 42 cm$ ， $A P$ 、 $B Q$ 足够长， $P A ⊥ A B$ 于A， $Q B ⊥ A B$ 于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M、N运动的速度之比 $3 : 4$ ，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线 $A P$ 上取点C，使 $△ A C M$ 与 $△ B M N$ 全等，则线段AC的长为．

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三、解答题（本题共52分，第17－19题，第21－23题，每题5分；第20题，4分；第24题-26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
求作：线段 $C D$ ，使得线段 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点D；
②连接 $C D$ ．
则线段 $C D$ 为所求．
完成下面的证明．
证明：∵直线 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线，点D在直线 $M N$ 上，
∴ $D C = D A$ ．（                                       ）（填推理的依据）
∴ $∠$            $= ∠$            ．
∵ $∠ A C B = 90 °$ ，
∴ $∠ B C D = 90 ° -$              ．
∵ $∠ B = 90 ° - ∠ A$ ．
∴ $∠ B C D = ∠ B$ ．
∴ $D C = D B$ ．（                             ）（填推理的依据）
∴ $△ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ， $A D$ 是角平分线， $A E$ 是高， $A E = C E$ ， $∠ D A E = 10 °$ ，求 $∠ C A E$ 和 $∠ B$ 的度数．

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19. 如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：∠B＝∠D．

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20. 在 $4 \times 4$ 的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是 $(0, 1), (- 1, - 1)$ ．

(1)、请图1中添加一个格点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是轴对称图形，且对称轴经过点 $(0, 1)$ ．

(2)、请图2中添加一个格点 $D$ ，使得 $△ A B D$ 也是轴对称图形，且对称轴经过点 $(1, 1)$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，P是 $B C$ 的中点， $P D ⊥ A B$ 于点D， $P E ⊥ A C$ 于点E，且 $P D = P E$ ，求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

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22. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的位置如图所示．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （其中 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 分别是A、B、C的对应点，不写画法）；

(2)、点 $Q$ 在坐标轴上，且满足 $△ B C Q$ 是等腰三角形，则所有符合条件的 $Q$ 点有个．

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23. 如图，A、B分别为 $C D$ 、 $C E$ 的中点， $A E ⊥ C D$ 于点A， $B D ⊥ C E$ 于点B．求 $∠ A E C$ 的度数．

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24. 如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 中线，点E在 $A C$ 上， $B E$ 交 $A D$ 于点F， $A E = E F$ ，求证： $A C = B F$ ．

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25. $△ A B C$ 为等边三角形，射线 $A P$ 经过点A， $∠ B A P = α (0 ° < α < 90 °)$ ，画点B关于射线 $A P$ 的对称点D，连接 $A D$ 、 $C D$ 交直线 $A P$ 于点E．

(1)、如图，当 $0 ° < α < 60 °$ 时
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 $E A$ 、 $E D$ 、 $E C$ 的数量关系，并证明；

(2)、若 $△ D B C$ 为等腰三角形，直接写出 $α$ 的度数．

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26. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (3, 0)$ ，且平行于y轴．给出如下定义：点 $P (x, y)$ 先关于y轴对称得点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于直线l对称得 $P^{'}$ ，则称点 $P^{'}$ 是点P关于y轴和直线l的二次反射点．

(1)、已知 $A (- 4, 0)$ ，则它关于y轴和直线l的二次反射点 $A^{'}$ 的坐标是；

(2)、若点D的坐标是 $(a, 0)$ ，其中 $a < 0$ ，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点 $D^{'}$ ，求线段 $D D^{'}$ 的长；

(3)、已知点 $E (4, 0), F (6, 0)$ ，以线段 $E F$ 为边在x轴上方作正方形 $E F G H$ ，若点 $P (a, 1)$ ， $Q (a + 1, 1)$ 关于y轴和直线l的二次反射点分别为 $P^{'}$ ， $Q^{'}$ ，且线段 $P^{'} Q^{'}$ 与正方形 $E F G H$ 的边有公共点，直接写出a的取值范围．

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