北京市第三十一中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

试卷更新日期：2024-11-11 类型：期中考试

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一、在每题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读卡”第1-8题的相应位置上．

1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(2, - 3)$ D、 $(- 2, - 3)$

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3. 一元二次方程 $x^{2} - x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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4. 如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C B}, ∠ A = 40 °$ ，则 $∠ C E B$ 的度数为（）

A、50° B、80° C、70° D、90°

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ B、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c < 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$

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6. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 1$ B、 $y = - 2 x^{2} - 1$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$

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7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)

A、(54 $\sqrt{3}$ +10) cm B、(54 $\sqrt{2}$ +10) cm C、64 cm D、54cm

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 经过点 $(- 1, 0)$ ．下面有四个结论：① $a > 0$ ；② $2 a + b < 0$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (b - c) x > 0$ 的解集为 $- 1 < x < 0$ ．其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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二、填空题（本题共16分，每题2分）

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有一个根为1，则实数k的值为．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为5，则点 $P (3, - 4)$ 在 $⊙ O$ ． (填“内”、“上”或“外”)

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11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 3)$ .此二次函数的解析式可以是

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12. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．

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13. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=°．

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14. 已知将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 沿 $x$ 轴向左或向右平移后经过点 $(3, 10)$ ，则平移后抛物线的解析式是．

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15. 某工厂2022年生产某种机械5000台，研发生产技术后．预计2024年生产该种机械6600台．设生产该种机械的年平均增长率为 $x$ ，根据题意，可列方程为．

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16. 如图，点C为线段 $A B$ 的中点，E为直线 $A B$ 上方的一点，且满足 $C E = C B$ ，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为腰，A为直角顶点作等腰 $R t △ A D E$ ，连接 $C D$ ，当 $C D$ 最大，且最大值为 $\sqrt{2} + 1$ 时，则 $A B$ ．

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三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 解下列方程：

(1)、 $4 x^{2} = 81$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， O C = 4 ， A C = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求点O到 $A C$ 的距离；

(2)、直接写出弦 $A C$ 所对的圆周角的度数．

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19. 已知：如图， $△$ ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= $\frac{1}{2} ∠ B A C$ ．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC（）（填推理依据）
∴∠ABP= $\frac{1}{2}$ ∠BAC

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + 2 m - 4 = 0$ ．
（1）求证：无论 $m$ 取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求 $m$ 的最小整数值．

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21. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系 $y = a x^{2} + x + c （ a \neq 0)$
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 自变量 $x$ 的部分取值及对应的函数值 $y$ 如下表所示：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
3
2
3
6
11
…

(1)、写出此二次函数图象的对称轴；

(2)、求此二次函数的表达式；

(3)、当 $- 3 < x < 3$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围．

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23. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

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24. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在半圆外， $A C, B C$ 与半圆交于 $D$ 点和E点．

(1)、利用现有已知条件请只用无刻度的直尺作出 $△ A B C$ 的两条高线，不必写出作法；

(2)、若 $A C = A B$ ，连接 $D E$ ，求证： $D E = B E$ ．

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25. 小明利用函数与不等式的关系，对形如 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n}) > 0$ ( $n$ 为正整数)的不等式的解法进行了探究．
(1)下面是小明的探究过程，请补充完整：
①对于不等式 $x - 3 > 0$ ，观察函数 $y = x - 3$ 的图象可以得到如表格：
$x$ 的范围
$x > 3$
$x < 3$
$y$ 的符号
+
﹣
由表格可知不等式 $x - 3 > 0$ 的解集为 $x > 3$ ．
②对于不等式 $(x - 3) (x - 1) > 0$ ，观察函数 $y = (x - 3) (x - 1)$ 的图象可以得到如表表格：
$x$ 的范围
$x > 3$
$1 < x < 3$
$x < 1$
$y$ 的符号
+
﹣
+
由表格可知不等式 $(x - 3) (x - 1) > 0$ 的解集为                          ．
③对于不等式 $(x - 3) (x - 1) (x + 1) > 0$ ，请根据已描出的点画出函数 $y = (x - 3) (x - 1)$ (x+1)的图象；
观察函数 $y = (x - 3) (x - 1) (x + 1)$ 的图象补全下面的表格：
$x$ 的范围
$x > 3$
$1 < x < 3$
$- 1 < x < 1$
$x < - 1$
$y$ 的符号
+
﹣


由表格可知不等式 $(x - 3) (x - 1) (x + 1) > 0$ 的解集为                        ．
……
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n}) > 0$ ( $n$ 为正整数)的不等式，先将 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 按从大到小的顺序排列，再划分 $x$ 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中 $y$ 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
(2)请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式 $(x - 6) (x - 4) (x - 2) (x + 2) > 0$ 的解集为                            ．
②不等式 $(x - 9) (x - 8) {(x - 7)}^{2} > 0$ 的解集为                        ．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 上任意两点．设抛物线的对称轴为直线 $x = t$ ．

(1)、若 $x_{2} = 2$ ， $y_{2} = c$ ，求 $t$ 的值；

(2)、若对于 $t + 1 < x_{1} < t + 2$ ， $4 < x_{2} < 5$ ，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE^，， CA^，，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE^，， CA^，于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，旋转角 $α$ 满足 $0 ° \leq α \leq 180 °$ ，对图形 $M$ 与图形 $N$ 给出定义：将图形 $M$ 绕原点逆时针旋转 $α$ 得到图形 $M^{'}$ ，点 $P$ 为图形 $M^{'}$ 上任意一点，点 $Q$ 为图形 $N$ 上的任意一点，称 $P Q$ 长度的最小值为图形 $M$ 与图形 $N$ 的“转后距”．已知点 $A (1, \sqrt{3})$ ，点 $B (4, 0)$ ，点 $C (2, 0)$ ．

(1)、当 $α = 90 °$ 时，记线段 $O A$ 为图形 $M$ ．
①画出图形 $M^{'}$ ；
②若点 $C$ 为图形 $N$ ，则“转后距”为__________；
③若线段 $A C$ 为图形 $N$ ，求“转后距”；

(2)、已知点 $P (m, 0)$ 在点 $B$ 的左侧，点 $Q (m - \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，记线段 $A B$ 为图 $M$ ，线段 $P Q$ 为图形 $N$ ，对任意旋转角 $α$ ， “转后距”大于 $1$ ，直接写出 $m$ 的取值范围．

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$x$ 的范围	$x > 3$	$1 < x < 3$	$- 1 < x < 1$	$x < - 1$
$y$ 的符号	+	﹣

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	3	2	3	6	11	…