浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-03 类型：期末考试

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一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\sqrt{x^{3}})}^{'} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$ B、 $(cos x)^{'} = sin x$ C、 ${(4^{x})}^{'} = x 4^{x - 1}$ D、 $(ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$

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2. 若直线 $l_{1} : (a - 2) x + a y + 4 = 0$ 与 $l_{2} : (a - 2) x + 3 y + 4 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、2 C、3 D、2或3

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{7} = 10$ ， $a_{5} a_{6} = 35$ ，则 $S_{6} =$ ( )

A、 $20$ B、 $16$ C、 $14$ D、 $12$

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4. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，标准差为 $b$ ，中位数为 $c$ ，极差为 $d$ ．由这组数据得到新数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{10}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, \dots, 10)$ ，则下列命题中错误的是（）

A、新数据的平均数是 $2 a + 1$ B、新数据的标准差是 $4 b$ C、新数据的中位数是 $2 c + 1$ D、新数据的极差是 $2 d$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $M$ 为双曲线右支上一点，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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6. 已知事件 $A 、 B$ ，如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A B) = p_{1}$ ；如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.6, P (B) = 0.7$ ，那么 $P (A + \bar{B}) = p_{2}$ ，则 $p_{1}, p_{2}$ 分别为（）

A、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.9$ B、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.9$ C、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.72$ D、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.45$

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7. 已知 $P, Q$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，直线 $P Q$ 与圆 $M_{:} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，切点 $A$ 恰为线段 $P Q$ 的中点，当直线 $P Q$ 斜率存在时点 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 及其前 $n$ 项和 $S_{n}, a_{1} = 1, |a_{n + 1} - a_{n}| = 2^{n}$ ，若 $S_{2 n - 1} > 0, S_{2 n} \leq 0$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2^{2024}}{3}$ B、 $\frac{1 - 2^{2012}}{3}$ C、 $\frac{5 - 2^{2024}}{3}$ D、 $\frac{5 - 2^{2023}}{3}$

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二、多选题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C、过点 $(1, 4)$ 的直线在两坐标轴上的截距之和为 $0$ ，则该直线方程为 $x - y + 3 = 0$ D、过 $(1, 4) 、 (x_{0}, y_{0})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - 4}{y_{0} - 4} = \frac{x - 1}{x_{0} - 1}$

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10. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件 $A$ 表示“两枚骰子的点数之和为 $5$ ”，事件 $B$ 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件 $C$ 表示“两枚骰子的点数相同”，事件 $D$ 表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{8}$ B、 $P (B) = \frac{1}{2}$ C、 $P (C) = \frac{1}{4}$ D、 $P (D) = \frac{3}{4}$

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11. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是递增数列或递减数列 B、若 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则 $0 < q < 1$ C、任意 $λ \in R, \{a_{n} + λ a_{n + 1}\}$ 为等比数列 D、若 $q \neq 1$ ，则存在 $λ \in R, \{S_{n} + λ\}$ 为等比数列

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l$ 过椭圆的左焦点 $F_{1}$ 交椭圆于 $A 、 B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、 $|A B|$ 的取值范围为 $[2 \sqrt{2}, 4]$ B、以 $A B$ 为直径的圆与 $x = - 4$ 相离 C、若 $\frac{|A F_{1}|}{|B F_{1}|} = 2$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、若弦 $A B$ 的中垂线与长轴交于点 $D$ ，则 $\frac{|D F_{1}|}{|A B|}$ 为定值 $\frac{1}{4}$

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三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为．

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14. 方程 $x^{2} + y^{2} - 4 y + m = 0$ 表示一个圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2023} =$ ．

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16. 曲线 $C : y^{2} = 4 x (0 \leq x \leq 4)$ 上动点 $P$ 与 $M (0, 4) 、 N (t, 0) (t < 0)$ 构成 $△ P M N$ ，若 $S_{△ P M N} \geq 8$ ，则实数 $t$ 的取值范围为．

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四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 b x^{2} + 3 c x$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线方程为 $y = 5$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 15 x - 80$ ．

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18. 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照 $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图，求 $x$ ；

(2)、根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；

(3)、用分层抽样的方法在 $[60, 70) ， [70, 80)$ 这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在 $[70, 80)$ 的概率．

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19. 已知直线 $l : y = k (x + 2 \sqrt{2})$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M, N$ 两点， $O$ 是坐标原点，且 $M 、 N 、 O$ 三点构成三角形．

(1)、用 $k$ 表示弦长 $|M N|$ ，并求 $k$ 的取值范围；

(2)、记 $△ M N O$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及取最大值时 $k$ 的值．

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20. 已知单调递增的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, \frac{1}{a_{5}}$ 是 $\frac{1}{S_{2}}$ 与 $\frac{1}{S_{5}}$ 的等差中项， $b_{n} = 2^{″} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ．若 $n \in N^{*}, λ (M_{n} + 2^{n + 2} - 4) \geq 8 S_{n} - 26 a_{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 拋物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的 $T (x_{0}, 2 \sqrt{3}) (x_{0} > 2)$ 到焦点 $F$ 的距离为4，直线 $A B$ 经过 $P (2, 0)$ 与抛物线相交于 $A 、 B$ 两点， $Q$ 是直线 $x = - 2$ 与 $x$ 轴的交点，直线 $A Q 、 B Q$ 分别交 $y$ 轴于 $M 、 N$ 两点．

(1)、求抛物线方程；

(2)、求证： $S_{△ A B Q} \cdot S_{△ M N Q}$ 为定值．

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22. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 为其中一条渐近线， $A_{1}$ 为双曲线的右顶点，过 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $l$ 于点 $B_{1}$ ，再过 $B_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交双曲线右支于点 $A_{2}$ ，重复刚才的操作得到 $B_{2}, A_{3}, B_{3}, \dots, A_{n}, B_{n} \dots$ ，记 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、过 $A_{i}$ 作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于 $M_{i}, N_{i}$ ，记 $a_{i} = \frac{1}{|M_{1} N_{1}|}, b_{i} = a_{i + 1}$ ，求证： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} \ln \frac{2 n + 3}{5} \leq \sum_{i = 1}^{n} b_{i} < \frac{\sqrt{2 n + 1} - 1}{2}$ ．

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