广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级上学期质量检测考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-02 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与左视图相同 B、主视图与俯视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三视图都相同

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2. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）

A、40个 B、35个 C、20个 D、15个

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3. 对于反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ ，下列说法不正确的是（）

A、图象经过点 $(1, - 1)$ B、图象在第二、四象限 C、 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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4. 等腰三角形两边长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根，那么这个三角形的周长（）

A、10 B、11 C、12 D、10或11

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D 、 B E$ 分别为 $A B 、 A C$ 边上的中线， $B E$ 与 $C D$ 相交于点F，则下列结论一定不正确的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{E F}{B F}$ C、 $\frac{C_{△ A D E}}{C_{△ A B C}} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{S_{△ D F E}}{S_{△ B F C}} = \frac{1}{4}$

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6. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = x - k$ 与 $y = \frac{k}{x}$ ( $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ )的图象大致( )

A、 B、 C、 D、

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7. 已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强 $p (kPa)$ 与汽缸内气体的体积 $V (ml)$ 满足关系： $p = \frac{6000}{V}$ ．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少 $20 %$ 时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加 $15kPa$ ．设加压前汽缸内气体的体积为 $x (ml)$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{6000}{0.8 x} - \frac{6000}{x} = 15$ B、 $\frac{6000}{x} - \frac{6000}{0.8 x} = 15$ C、 $\frac{6000}{1.2 x} - \frac{6000}{x} = 15$ D、 $\frac{6000}{x} - \frac{6000}{1.2 x} = 15$

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8. 如图，点D，E，F分别在 $△ A B C$ 的边上， $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{3}$ ， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ， M是 $D F$ 的中点，连结 $C M$ 并延长交 $A B$ 于点N，则 $\frac{M N}{C M}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

9. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 $P (2, 2)$ 处，木杆 $A B$ 两端的坐标分别为 $(0, 1), (3, 1)$ ．则木杆 $A B$ 在 $x$ 轴上的影长 $C D$ 为．

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10. 化学实验操作考试前，小明从“配置质量分数为 $4 %$ 的 $NaCl$ 溶液”、“ ${CO}_{2}$ 的实验室制取与性质”、“水的电解”中随机抽取一个进行操作，他抽到“水的电解”的概率为．

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11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + \sqrt{k} x + 2 = 0$ 有解，求 $k$ 的取值范围．

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 边上的一点（异于 $A$ ， $B$ 两点），过点 $P$ 分别作 $A C$ ， $B C$ 边的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的最小值是．

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13. 如图，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 的中点，连接 $A E, B E, B E$ 交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $F D$ 交 $A E$ 于点 $G$ ，如果 $D F = 4$ ，那么 $A B$ 的长为．

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三、解答题（共7小题，满分61分）

14. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 5 x - 1 = 0$

(2)、 $7 x (5 x + 2) = 6 (5 x + 2)$

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15. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．

(1)、某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；

(2)、某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 3$ ， D为 $A C$ 延长线上一点， $A C = 3 C D$ ， $∠ C B D = ∠ A$ ，过D作 $D H ∥ A B$ ，交 $B C$ 的延长线于点H．

(1)、求证： $△ H C D ∽ △ H D B$ ．

(2)、求 $D H$ 长度．

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17. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）﹒把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题：
（1）本次调查的学生共有人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为；请将条形统计图补充完整；
（2）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

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18. 根据以下素材，探索完成任务．

项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素材一	将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板 $A D$ 位置固定，第二排 $H G$ 位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变， $D E$ ， $G M$ 所在的直线垂直于水平线 $A C$ ，坡面 $A B = 4 m$ ， $∠ B A C = 16 °$ ， $A D = H G = 100 cm$ ， $A E = 91 cm$ ， $∠ D A C = 31 °$	参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$
素材二	上午太阳光线与水平线的夹角 $α$ 范围为 $14 ° < α \leq 29 °$ ， $E F$ 为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任务一	计算角度	当 $α$ 等于 $14 °$ 时， $∠ A F D =$ ______．
任务二	探究影长	求 $D E$ 在斜坡上的阴影 $E F$ 的取值范围（精确到 $0.1 cm$ ）．
任务三	方案选择（选择其中的一种方案进行研究）	方案一：若在该斜坡上安装3排 $100 cm$ 的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到 $1 cm$ ）．方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来 $100 cm$ 长的电池板最大可以定制多长（精确到 $0.1 cm$ ）．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4；

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、根据图象直接写出 $- \frac{1}{2} x > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、将直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x$ 沿y向上平移后的直线 $l {}_{2}$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第二象限内交于点C，如果 $△ A B C$ 的面积为30，求平移后的直线 $l {}_{2}$ 的函数表达式．

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20. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】如图②，在四边形 $A B C D$ 中，如果 $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，那么四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形 $A B C D$ 两组对边 $A B 、 C D$ 与 $B C 、 A D$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以 $Rt △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连接 $C E 、 B G 、 G E$ ．若 $A C = 2$ ， $A B = 5$ ，则直接写出 $G E$ 的值．

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