贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：期末考试

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一、4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.

1. 已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（）

A、4 B、－4 C、8 D、－8

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{14} = 1$ 的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{14}$ B、4 C、 $6 \sqrt{2}$ D、2

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3. 在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{m} = (1, 1, - 1)$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量，且 $\vec{C D} = (0, 3, 4)$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{20}$

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4. 若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 2^{a_{n + 1}} - n^{2}, a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、1 B、 ${log}_{2} 3$ C、 $\sqrt{5}$ D、 ${log}_{2} 5$

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5. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (m > 1)$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且点 $P$ 不在直线 $F_{1} F_{2}$ 上，则“ $m > 6$ ”是“ $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长大于 $12$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\vec{P B} = 4 \vec{P D}, \vec{C D} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则 $x - y + z =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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7. 已知 $A (m, 2), B (n, 3)$ ， C是抛物线 $M : x^{2} = 4 y$ 上的三个点，F为焦点， $D (4, 3)$ ，点C到x轴的距离为d，则 $|A F| + |B F| + |C D| + d$ 的最小值为（）

A、10 B、 $6 + 2 \sqrt{5}$ C、11 D、 $7 + 2 \sqrt{5}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{n} - \frac{y^{2}}{n^{2} + n} = 1 (n \in N^{*})$ 的离心率为 $a_{n}$ ，当 $m < 1000$ 时，在数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{m}$ 为有理数的 $m$ 的最大值为（）

A、959 B、960 C、961 D、963

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若直线 $l_{1} : y = 5 x + 2, l_{2} : y = - 0.2 x + 1, l_{3} : y = 5 x - 1$ ，则（）

A、 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ D、 $l_{1}$ $∥$ $l_{3}$

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10. 已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个单位正交基底，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2} |\vec{c}|$ B、 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底 C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 1$ D、 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} - \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底

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11. 已知公比为 $q$ 的正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}, a_{7} = 1$ ，则（）

A、 $a_{1} a_{14} = q$ B、当 $0 < q < 1$ 时， $T_{7} > 1$ C、 $T_{13} = 1$ D、当 $q > 1$ ，且 $T_{n}$ 取得最小值时， $n$ 只能等于6

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12. 已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $y = k x$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $M, N$ 分别为 $A F, B F$ 的中点，若 $O M ⊥ O N$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 双曲线 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ 的虚轴长为．

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14. 抛物线 $y^{2} = - 11 x$ 的准线方程为．

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15. 某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为．

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16. 已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，直线 $l : x - y - 1 = 0, P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点分别为 $A, B$ ，当 $|P M| \cdot |A B|$ 最小时，点 $P$ 的坐标为，直线 $A B$ 的方程为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，且圆 $C$ 与 $y$ 轴相切于点 $(0, 2)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : x - y = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ．

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18. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ 且 $a_{1}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知点 $M (- 4, 0), N (4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| - |P N| = 4$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A, B$ 是 $C$ 上不同的两点，且直线 $A B$ 的斜率为5，线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，证明：点 $Q$ 在直线 $3 x - 5 y = 0$ 上．

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20. 如图，在直四棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A B = B C, A D = C D$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ .

(2)、若 $A B ⊥ B C, B B_{1} = \sqrt{2} A B = \sqrt{2}$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求平面 $A B C D$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 夹角的余弦值.

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21. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} + S_{n}$ 为定值．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{2} n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知点 $P$ 在抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上，点 $P$ 在第一象限，过点 $P$ 且与 $C$ 相切的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，与 $x$ 轴交于点 $M$ ．

(1)、证明： $N$ 是 $P M$ 的中点．

(2)、过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $Q$ ，且 $|P Q| = 4 |P M|$ ，求 $l$ 的斜率．

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