浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $M = \{x ||x - 1| \leq 1\}$ ， $N = \{x |x > 2\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{x |x > 2\}$ B、 $\{x |x \leq 0\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{x |x \geq 0\}$

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2. $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 已知 $a = \log_{3} 0.3$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = {0.3}^{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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4. 若 $(1 + x) {(2 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、0

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5. 某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则80分以上的人数大约是（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$

A、3173 B、6346 C、6827 D、13654

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6. 在 $△ A B C$ 中，“ $0 < \cos A \cos B < \sin A \sin B$ ”是“ $△ A B C$ 为锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若 $\tan 2 α = 3 \tan (α - β)$ ，则 $\tan (α + β)$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $\{\begin{cases} a_{1011} + \sin a_{1011} = 1 \\ a_{1013} + \sin (a_{1013} - 2) = 1 \end{cases}$ ，则（）

A、 $S_{2023} = 2023$ ， $d < 1$ B、 $S_{2023} = 2023$ ， $d > 1$ C、 $S_{2023} = - 2023$ ， $d \leq 1$ D、 $S_{2023} = - 2023$ ， $d \geq 1$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 设平面向量 $\vec{a} = (t, 2 - 2 t) (t \in R)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ，（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t = \frac{4}{5}$ B、若 $t = 1$ ，则 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - 2 \vec{a})$ C、 $\forall t \in R$ ， $|\vec{a}| \geq \frac{2}{5} \sqrt{5}$ D、 $\exists t \in R$ ，使 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(0, 1)$ 与 $(\frac{π}{3}, 0)$ ，则（）

A、 $f (- \frac{2 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最大值 B、 $f (\frac{10 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (\frac{7 π}{3}) = 0$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增

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11. 已知函数 $g (x) = f (e^{x})$ ， $h (x) = e^{f (x)}$ ．（）

A、若 $f (x) = 0$ ，则 $g (x) = h (x) = 0$ B、若 $f (x) = |x|$ ，则 $g (x) = h (x)$ C、对于 $g (x) = h (x)$ ，若 $f (x) = x^{α}$ ，则 $α = 1$ D、对于 $g (x) = h (x)$ ，若 $f (x) = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a = e$

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12. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 上（ $A$ 在第一象限），点 $Q$ 在 $l$ 上， $\vec{F Q} \cdot \vec{F A} = 0$ ， $\vec{Q B} = λ \vec{B F} (λ > 0)$ ，（）

A、若 $λ = 2$ ，则 $|B F| = \frac{2}{3}$ B、若 $∠ A Q F = \frac{π}{3}$ ，则 $|A F| = 2$ C、则 $△ A F B$ 的面积最小值为 $\frac{1}{4}$ D、则 $△ A Q B$ 的面积大于 $3 - 2 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为．

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14. 已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为．

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15. 某地区上年度电价为0.8元 $/ (kW \cdot h)$ ，年用电量为 $a kW \cdot h$ ，本年度计划将电价下降到 $0.55 ~ 0.75 元 / (kW \cdot h)$ 之间，而用户期望电价为 $0.4 元 / (kW \cdot h)$ ．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 $μ$ ）．该地区的电力成本价为 $0.3 元 / (kW \cdot h)$ ．已知 $μ = 0.2 a$ ，为保证电力部门的收益比上年至少增长 $20 %$ ，则最低的电价可定为 $元 / (kW \cdot h)$ ．

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16. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上一点，且 $A E = B_{1} F = 1$ ，若三棱锥 $E - A B C$ 的外接球与三棱锥 $F - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球外切，则 $A A_{1}$ 的长为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 浙江省普通高中学业水平考试分 $A, B, C, D, E$ 五个等级，剔除 $E$ 等级， $A, B, C, D$ 等级的比例分别是 $5 %, 15 %, 40 %, 40 %$ ，现从当年全省数学学考 $A, B, C, D$ 四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．

(1)、分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；

(2)、从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件 $M$ 为抽取的4份试卷中没有 $D$ 等级的试卷，事件 $N$ 为抽取的4份试卷中有 $B$ 等级的试卷，求 $P (N |M)$ ．

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{1 + \sin 2 A - \cos 2 A}{1 + \sin 2 A + \cos 2 A} = \sqrt{3}$ ， $b = 3 c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、求 $\sin A : \sin B : \sin C$ ．

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19. 如图在等腰梯形 $A B C D^{'}$ 中， $A B / / C D^{'}$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $D C$ ， $A E$ ， $B C$ 的中点，现将 $△ D A E$ 绕 $A E$ 翻折至 $△ D A E$ 的位置， $H$ 为 $C D$ 的中点．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $E G H$ ；

(2)、当平面 $D A E$ 垂直于平面 $A B C$ 时，求平面 $D A E$ 与平面 $H G E$ 夹角的余弦值．

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20. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 3$ ， $d \neq 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{7}$ ， $a_{25}$ 构成等比数列，

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $f (n) = a_{n}$ ，若存在数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 7$ ， $b_{3} = 25$ ，且数列 $\{f (b_{n})\}$ 为等比数列，求 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - x (a > 0)$ 在定义域上不是单调函数．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域上的极大值为 $M$ ，极小值为 $N$ ，求 $M + N$ 的取值范围．

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22. 已知点 $P$ 是圆 $S : x^{2} + y^{2} = 1$ 的动点，过 $P$ 作 $P H ⊥ y$ 轴， $H$ 为垂足，且 $\vec{H Q} = t \vec{H P}$ ， $\vec{H R} = \frac{1}{t} \vec{H P} (t > 1)$ ，记动点 $Q$ ， $R$ 的轨迹分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、证明： $S_{1}$ ， $S_{2}$ 有相同的离心率；

(2)、若直线 $l : y = k x - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 与曲线 $S_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ ，与曲线 $S_{2}$ 交于 $C$ ， $D$ ，与圆 $S$ 交于 $M$ ， $N$ ，当 $k > \sqrt[4]{3}$ 时，试比较 ${|A B|}^{2} + {|C D|}^{2}$ 与 $2 {|M N|}^{2}$ 的大小．

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