浙江省丽水市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题

试卷更新日期：2024-02-26 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{6}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{31}{32}$ D、 $\frac{63}{64}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 0), \vec{b} = (1, - 1, \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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3. 函数 $f (x) = (x - 3) e^{x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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4. 直线 $x + (a^{2} + 1) y - 1 = 0 (a \in R)$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ D、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$

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5. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $α ⊥ β, l / / β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ m, m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m \subset α, l / / β, l / / m$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α, l / / β, l / / m$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 如图，将一个圆柱 $2 n (n \in N^{*})$ 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $10 n π$ D、 $20 n π$

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7. 设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，若 $m \in (2, 8)$ ，则（）

A、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ B、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $e_{1} e_{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $e_{1} e_{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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8. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 $2^{0}$ .接下来的两项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 $N$ ， $N > 50$ .且该数列的前 $N$ 项和为2的整数幂.那么 $N$ 是（）

A、83 B、87 C、91 D、95

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 已知直线 $l : m x + y - m - 2 = 0 (m \in R)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(1, 2)$ B、线段 $A B$ 长的最大值为6 C、线段 $A B$ 长的最小值为4 D、 $△ A B O$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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10. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 $E A B C D F$ ，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A、平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ B、平面 $A D E ⊥$ 平面 $E B C$ C、直线 $A E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $A B E$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值是 $\frac{1}{3}$

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11. 设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，且与圆 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切于 $M (x_{0}, y_{0})$ 点，M为线段 $A B$ 的中点（）

A、当 $y_{0} = 1$ 时，直线 $A B$ 的斜率为1 B、当 $y_{0} = 2$ 时，线段 $A B$ 的长为8 C、当 $r = 5$ 时，符合条件的直线 $l$ 有两条 D、当 $r = 3$ 时，符合条件的直线 $l$ 有四条

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12. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型： $N (t) = \frac{K N_{0}}{N_{0} + (K - N_{0}) e^{- r t}}$ ，其中 $N_{0}, r, K$ 是正数， $N_{0}$ 表示初始时刻种群数量，r表示种群的内秉增长率，K表示环境容纳量， $N (t)$ 近似刻画t时刻的种群数量.下面判断正确的是（）

A、如果 $N_{0} = \frac{K}{3}$ ，那么存在 $t > 0, N (t) = 2 N_{0}$ B、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么对任意 $t > 0, N (t) < K$ C、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么存在 $t > 0, N (t)$ 在t点处的导数 $N^{'} (t) < 0$ D、如果 $0 < N_{0} < \frac{K}{2}$ ，那么 $N (t)$ 的导函数 $N^{'} (t)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在最大值

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三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知直线 $l_{1} : x + y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{6} = 8$ ，则 $S_{7} =$ .

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15. 已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上底面圆 $O_{1}$ 的半径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的半径为6，圆台的体积为 $104 π$ ，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则 $\frac{O O_{1}}{O O_{2}} =$ .

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $15, M$ 是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{1}{15} \vec{P A} + \frac{2}{15} \vec{P B} + \frac{4}{15} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $A - M B C$ 的体积是.

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17. 已知曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ 和 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ ，点 $P, Q$ 分别在曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上，记点Q的横坐标为 $x_{Q}$ ，则 $| P Q | + x_{Q}$ 的最小值是.

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18. 如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆外切或与坐标轴相切），若斜率为3的直线 $l$ 将8个圆分成面积相等的两部分，则直线 $l$ 的方程是.

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四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 已知圆 $M$ 经过点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、过点 $P (- 1, 1)$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = a x \ln (1 + x) + x^{2} + x, a \in R$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数a的取值范围.

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21. 已知 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n} + S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 a_{n}^{2}}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2, ∠ A B C = 30 °, M$ 为 $A D$ 中点.

(1)、求平面 $M P C$ 与平面 $A P C$ 夹角的余弦值；

(2)、设点N在直线 $C D$ 上，若 $△ N P B$ 的面积是 $\sqrt{5}$ ，求 $\frac{N C}{C D}$ 的值.

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23. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，点 $M (2, 1)$ ，直线 $l : y = k x + m (m \neq 0)$ 与双曲线C交于不同的两点 $A, B$ .

(1)、若 $△ M A B$ 的重心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，求k的值；

(2)、若直线 $l$ 过双曲线C的右焦点F，且直线 $M A, M B$ 的斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ ，求 $△ M A B$ 的面积.

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