浙江省新阵地教育联盟浙江十校2024届高三下学期第三次联考（开学考试）数学试题

试卷更新日期：2024-03-06 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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2. 设集合 $A = \{y| y = \log_{2} x, x > \frac{1}{2}\}$ ， $B = \{y| y = \frac{1}{2^{x}}, x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = (- 1, 1)$ B、 $A \cup B = B$ C、 $A \cap (∁_{R} B) = [1, + \infty)$ D、 $A \cap B = B$

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3. 已知 $f (x) = (3 x + 1) (x - a) (3 x - 1) + {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 是奇函数，则常数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ C、平面 $B_{1} E F$ $∥$ 平面 $A_{1} C C_{1}$ D、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B_{1} D D_{1}$

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5. 袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，则（）

A、 $p_{1} = p_{2}$ B、 $p_{1} < p_{2}$ C、 $p_{1} > p_{2}$ D、 $p_{1} > p_{2}$ 或 $p_{1} < p_{2}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F, G$ 分别满足 $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A D}, \vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ，若 $E F ⊥ E G$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = \frac{3}{4} | \vec{a} |$ B、 $|\vec{b}| = |\vec{a}|$ C、 $| \vec{b} | = \frac{3}{2} | \vec{a} |$ D、 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$

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7. 已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $2 a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ”是“ $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线右支上一点，点 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的对称点也在此双曲线上，且 $cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{9}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 $A, B, C, D$ 在同一个平面内，如果四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、此八面体一定存在外接球 D、此八面体的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$

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10. 函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 相邻两个最高点之间的距离为 $π, (\frac{5 π}{12}, 0)$ 为 $f (x)$ 的对称中心，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上存在极值点 B、方程 $g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 所有根的和为 $\frac{4 π}{3}$ C、若 $g (x + m)$ 为偶函数，则正数 $m$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $g (\frac{λ}{2} x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上无零点，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{4}{3}] \cup [5, \frac{16}{3}]$

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11. 在平面直角坐标系中，如果将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α$ （ $0 < α \leq \frac{π}{2}, α$ 为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 $f (x)$ 为“ $α$ 旋转函数”，则（）

A、 $\forall α \in (0, \frac{π}{2})$ ，函数 $y = x$ 都为“ $α$ 旋转函数” B、若函数 $f (x) = sin x, x \in [0, π]$ 为“ $α$ 旋转函数”，则 $α \in (0, \frac{π}{4}]$ C、若函数 $g (x) = a x - \frac{2}{x}$ 为“ $\frac{π}{4}$ 旋转函数”，则 $a = 1$ D、当 $m \leq - 2 e^{2}$ 或 $m \geq 1$ 时，函数 $h (x) = m x e^{x} + 1$ 不是“ $\frac{π}{4}$ 旋转函数”

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 有甲乙两生从“物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术”七门科目中选三门作为高考选考科目，学生甲物理和化学两门必选，并在另外的五门中任选一门；学生乙必选政治学科，但一定不选物理､化学，则甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有种.（用数字作答）

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13. $P$ 是圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上一动点， $A (2, 0), Q$ 为 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $|O Q|$ 的最大值为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (1 - x), f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $g (x) = f^{'} (x) + \frac{1}{3}, x \in R$ .若 $a_{n} = g (\frac{n}{2024})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2023项和为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动.

(1)、完成如下列联表（单位：人），并判断能否有 $99.5 %$ 的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联.
性别
课间进行体育活动情况
合计
不经常
经常
男
女
合计

(2)、以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $2 sin C = 3 sin (A - B)$ .

(1)、证明： $tan A = 5 tan B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{12} c^{2}$ ，求 $tan C$ ；

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17. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A C = 3, D C = 2 \sqrt{2}, ∠ D C A = 45^{\circ}, C B ⊥ A B, B C = B D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $E$ 为棱 $D C$ 上，若 $B C$ 与平面 $E A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ，求 $D E$ 的长；

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左顶点为 $C$ ，过右焦点 $F$ 作直线与椭圆分别交于 $A, B$ 两点（异于左右顶点），连接 $A C, C B$ .

(1)、证明： $A C$ 与 $A F$ 不可能垂直；

(2)、求 $| A B |^{2} + | B C |^{2} + | C A |^{2}$ 的最小值；

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19. 已知函数 $f (x) = cos x + λ ln (1 + x)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为1.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若 $f (x) \leq a x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的值.

(3)、求证： $\sum_{k = n + 1}^{2 n} f (\sin \frac{1}{k} - 1) < \ln 2, n \in N^{*}$ .

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性别	课间进行体育活动情况		合计
性别	不经常	经常	合计
男
女
合计

$α$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828