浙江省金华十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线： $x - 2 y + 3 = 0$ 与直线： $2 x + a y - 2 = 0$ 互相平行，则 $a =$ （）

A、1 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 1$

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2. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{10} = 9$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、54

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3. 如果函数 $y = (x)$ 在 $x = 2$ 处的导数为1，那么 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x + 2) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 过点 $P (- 1, 2)$ 且与直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $x - 2 y + 5 = 0$ B、 $x + 2 y - 3 = 0$ C、 $2 x - y + 4 = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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5. 圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = r^{2} - 5 (r > 0)$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} = 6$ 的位置关系不可能（）

A、内含 B、内切 C、相交 D、外切

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6. 已知 $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α, β$ 的法向量（ $α, β$ 不重合），则下列说法中，正确的是（）

A、 $\vec{v} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ B、 $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ C、 $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ D、 $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α$

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7. 法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点 $M$ 和 $N$ ，动点为 $H$ ，若 $\vec{M H} \cdot \vec{N H} = 2$ ，则动点 $H$ 的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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8. 已知直线 $l : y = k x + m (k \neq \pm 1)$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有唯一公共点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (x, 0), B (0, y)$ 两点，则当 $M$ 运动时，点 $P (x, y)$ 到 $C (2 \sqrt{2}, 0) 、 D (3 \sqrt{2}, 1)$ 两点距离之和的最小值为（）

A、 $\sqrt{51} - 4$ B、 $\sqrt{51} + 4$ C、 $\sqrt{51} - 2$ D、 $\sqrt{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列导数运算正确的（）

A、 ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${[ln (2 x)]}^{'} = \frac{1}{x}$ D、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$

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10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $- 3$ ，若 $a_{7} > 0$ ， $a_{8} < 0$ ，则首项 $a_{1}$ 的值可能是（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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11. 已知抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2} y_{2})$ 是抛物线上的两点，抛物线在 $A, B$ 两点的切线交于点 $P$ ，则下列结论一定正确的（）

A、抛物线的方程为： $x^{2} = 4 y$ B、 $|A F| = y_{1} + 1$ C、当直线 $A B$ 过焦点时，三角形 $O A B$ 面积的最小值为1 D、若 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} (y_{1} + y_{2} + 2)$ ，则 $∠ A F B$ 的最大值为 $\frac{2}{3} π$

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12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为 $6 cm$ ，重量为 $360 g$ 的实心玩具，则下列说法正确的是（）

A、将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为 $6 \sqrt{2} cm$ . B、将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为 $4 \sqrt{2} cm$ . C、将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为 $3 \sqrt{10} cm$ . D、将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为．

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14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列 $\{a_{n}\}$ 满足冰雹猜想，其递推关系为： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, 当 a_{n} 为偶数时, \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 . \end{matrix}$ 若 $a_{4} = 1$ ，则 $m$ 所有可能的取值为．

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15. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 上的点，且 $\frac{A E}{E B} = \frac{A H}{H D} = \frac{C F}{F B} = \frac{C G}{G D} = \frac{1}{2}, M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点，以 $\{\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}\}$ 为基底表示 $\vec{A M}$ ，则 $\vec{A M} =$ ．

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, F$ 为椭圆 $C$ 的一个焦点，若 $F$ 关于直线 $y = k x$ 的对称点恰好在椭圆 $C$ 上，则斜率 $k$ 的取值构成的集合为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增 $5 %$ ，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．

(1)、若此人选择在一家公司连续工作 $n$ 年，第 $n$ 年的月工资是分别为多少？

(2)、若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（ ${1.05}^{10} \approx 1.6$ ）．

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18. 如图，已知圆柱下底面圆的直径 $A B = 6$ ，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A, B$ 的动点，圆柱的两条母线 $C D = B E = 3$ ．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求四棱锥 $A - B C D E$ 体积的最大值．

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19. 已知以点 $A (- 1, 2)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} : x + 2 y - 13 = 0$ 相切，过点 $B (2, 3)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 与圆 $A$ 相交于 $M, N$ 两点，

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、当 $|M N| = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形， $A B = 2, ∠ B A D = 60 °$ ，对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $α$ 是过直线 $A B$ 的一个平面，与棱 $P C, P D$ 交于点 $E, F$ ，且 $P E = \frac{1}{4} P C$ ．

(1)、求证： $E F / / C D$ ；

(2)、若平面 $α$ 交 $P O$ 于点 $T$ ，求 $\frac{P T}{P O}$ 的值；

(3)、若二面角 $E - A B - C$ 的大小为 $45 °$ ，求 $P O$ 的长．

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21. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} + 4}{2^{n} a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} c_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ ，求证： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \dots + \frac{1}{c_{n}} > 2 \sqrt{n + 2} - 3$

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22. 已知 $F$ 为拋物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点， $M$ 为 $E$ 的准线 $l$ 上一点，直线 $M F$ 的斜率为 $- 1, △ O F M$ 的面积为 $\frac{1}{16}$ ．已知 $P (3, 1), Q (2, 1)$ ，设过点 $P$ 的动直线与抛物线 $E$ 交于 $A 、 B$ 两点，直线 $A Q, B Q$ 与 $E$ 的另一交点分别为 $C, D$ ．

(1)、求拋物线 $E$ 的方程；

(2)、当直线 $A B$ 与 $C D$ 的斜率均存在时，讨论直线 $C D$ 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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