贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试数学试卷（一）

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 6} ， B = {2 ， 3 ， 5 ， 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${2 ， 8}$

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2. 已知 $z$ 是复数，若 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 i$ D、 $2 - 2 i$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} + a_{8} = 14 ， a_{15} = 27$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、150 B、140 C、130 D、120

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4. 向量 $\vec{a} = (6 ， 2)$ 在向量 $\vec{b} = (2 ， - 1)$ 上的投影向量为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(1 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(4 ， - 2)$ D、 $(3 ， 1)$

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5. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ，直线 $l ： m (x + y + 1) + y - x = 0 ， m \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1 ， - 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 一定相交 C、若直线 $l$ 平分圆 $C$ 的周长，则 $m = - 4$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦的长度为 $\sqrt{3}$

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6. 2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）

A、6种 B、9种 C、18种 D、36种

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7. 将函数 $f (x) = sin x$ 的图像先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍，得到函数 $g (x)$ 的图像.若函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{6}]$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f^{'} (x) + e^{x}$ 也是偶函数，若 $f (a) > f (2 a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设样本数据 $1 ， 3 ， 5 ， 6 ， 9 ， 11 ， m$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，中位数为 $x_{0}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、若 $\bar{x} = 6$ ，则 $m = 7$ B、若 $m = 2024$ ，则 $x_{0} = 6$ C、若 $m = 7$ ，则 $s^{2} = 11$ D、若 $m = 12$ ，则样本数据的 $80 %$ 分位数为11

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10. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ C、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq 1$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C ， P C = A B = 3$ ，平面 $A B C$ 内动点 $D$ 的轨迹是集合 $M = {D | | D A | = 2 | D B |}$ .已知 $C ， D_{i} \in M$ 且 $D_{i}$ 在棱 $A B$ 所在直线上， $i = 1 ， 2$ ，则（）

A、动点 $D$ 的轨迹是圆 B、平面 $P C D_{1} ⊥$ 平面 $P C D_{2}$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为3 D、三棱锥 $P - D_{1} D_{2} C$ 外接球的半径不是定值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{1}{s i n 2 α} =$ .

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13. 已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为 $2 \sqrt{3}$ .若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为.（球的厚度可忽略不计）

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14. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $B F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $A$ .若 $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a s i n C = \sqrt{3} c c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 2 A B = 2$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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17. 猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙同学猜对每个灯谜的概率为 $\frac{1}{2}$ .假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：

(1)、甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；

(2)、活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在 $A$ 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是 $\frac{2}{3}$ ；没有都猜对则在 $B$ 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是 $\frac{1}{4}$ ，求甲同学抽中新春大礼包的概率；

(3)、甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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18. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，虚轴长为2，点 $A (- 4 ， - 1)$ 在 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过原点 $O$ 的直线与 $C$ 交于 $S ， T$ 两点，已知直线 $A S$ 和直线 $A T$ 的斜率存在，证明：直线 $A S$ 和直线 $A T$ 的斜率之积为定值；

(3)、过点 $(0 ， 1)$ 的直线交双曲线 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $M ， N$ ，求证： $M N$ 的中点为定点.

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19. 英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ 其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n, e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots \dots$ .以上公式称为泰勒公式.设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设 $F (x) = g (x) - a (1 + \frac{x^{2}}{2})$ ，若 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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