贵州省安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-20 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = \{x| \log_{3} x > 0\}, B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{3\}$

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2. 若 $(1 + i) z = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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4. 安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、72种

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5. 西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为 $α$ ，塔底C点的仰角为 $β$ .已知山岭高CD为h，则塔高BC为（）

A、 $\frac{h sin (α - β)}{cos α sin β}$ B、 $\frac{h sin (α - β)}{sin α sin β}$ C、 $\frac{h sin α sin β}{sin (α - β)}$ D、 $\frac{h cos α sin β}{sin (α - β)}$

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6. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该椭圆的左，右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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7. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 与 $f (x - 1)$ 都是奇函数，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x) = f (x + 1)$ D、 $f (x + 3)$ 是奇函数

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8. 一个轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球 $O_{1}$ 后，再放入一个球 $O_{2}$ ，则球 $O_{2}$ 的表面积与容器表面积之比的最大值为（）

A、 $\frac{4}{81}$ B、 $\frac{1}{27}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（）

A、5次月考成绩的极差为15 B、5次月考成绩的平均数为100 C、5次月考成绩的方差为50 D、5次月考成绩的40%分位数为95

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{7 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到一个奇函数的图象

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E、F、G、H分别为棱 $C C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 、 $A B$ 的中点，点M为棱 $A_{1} B_{1}$ 上动点，则（）

A、点E、F、G、H共面 B、 $|G M| + |M H|$ 的最小值为 $1 + \sqrt{5}$ C、点B到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $D E ⊥ A_{1} H$

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12. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{3} = \frac{1}{4}$ B、数列 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列 C、 $P_{n} = \frac{2}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{3}$ D、第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{5} = 1$ ， $a_{9} = 81$ ，则 $a_{7} =$ .

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14. 若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b + c = 3 a^{2} - 4 a + 6$ ， $b - c = a^{2} - 4 a + 4$ ，试确定 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是.

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15. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，一条光线从点 $A (2, 0)$ 时出，经直线 $y = x$ 反射后，与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，写出一条反射后光线所在直线的方程.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - a x - \ln a x$ 有正零点 $x_{0}$ ，则正实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 2$

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [- \frac{1}{2}, 2]$ 有解，求实数m的范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $(b - c) sin (A + B) = (b - a) (sin A + sin B)$ .

(1)、求A的大小：

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的最小值.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A A_{1} = A B$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ .

(2)、若 $A A_{1} = A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点E是线段 $B B_{1}$ 上一动点，当直线 $A E$ 与平面 $A_{1} C B_{1}$ 所成角正弦值为 $\frac{1}{5}$ 时，求点E的位置.

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值.

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21. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.

(1)、求小明同学在一轮比赛中所得积分 $X$ 的分布列和期望；

(2)、规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？

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22. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， A，B为左右顶点，双曲线 $Γ$ 的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且 $k_{A P} \times k_{B P} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线l与 $Γ$ 相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证： $△ O M N$ 的面积为定值.

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