贵州省黔东南州2024届高三下学期模拟统测(二模)数学试题

试卷更新日期：2024-03-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 0}, B = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 1\}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ C、 ${x ∣ - 1 \leq x < 0}$ D、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5 m} + \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 下列四组数据中，中位数等于众数的是（）

A、1，2，4，4，1，1，3 B、1，2，4，3，4，4，2 C、1，2，3，3，4，4，4 D、1，2，3，4，2，2，3

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4. 2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（）

A、60种 B、100种 C、80种 D、120种

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5. 若函数 $f (x) = {log}_{\sqrt{2}} (x^{2} - a x + a) (a > 0)$ 的值域为 $R$ .则 $f (a)$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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6. 将函数 $f (x) = 4 sin (- 3 x + \frac{π}{6}) - 2$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, θ]$ 上的最大值为 $0$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{9}$ D、 $\frac{π}{12}$

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7. 在 $n$ 个数码 $1, 2, \dots, n (n \leq 9, n \in N^{*})$ 的全排列 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为 $T (j_{1} j_{2} \dots j_{n})$ .例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此 $T (312) = 2$ .那么 $T (87542136) =$ （）

A、19 B、20 C、21 D、22

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8. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以 $2 {cm}^{3} / s$ 的速度向该容器内注入溶液，随着时间 $t$ （单位： $s$ ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当 $t = π$ 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

A、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{3 π} cm / s$ B、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{5 π} cm / s$ C、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{6 π} cm / s$ D、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{2 π} cm / s$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 是方程 $(z - i) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ 的三个互不相等的复数根，则（）

A、 $z_{1}$ 可能为纯虚数 B、 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 的虚部之积为 $- 3$ C、 $| z_{1} | + | z_{2} | + | z_{3} | = 6$ D、 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 的实部之和为2

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10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B C_{1} ⊥ A_{1} D$ B、四面体 $B E C_{1} B_{1}$ 外接球的表面积为 $6 π$ C、 $A_{1} C / /$ 平面 $B E C_{1}$ D、直线 $A A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角为 $60 °$

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11. 拋物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为1，经过点 $P (m, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、当 $m = 1$ 时，直线 $l$ 斜率的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当点 $P$ 与点 $F$ 重合时， $\frac{1}{|F A|} + \frac{1}{|F B|} = 2$ C、当 $m = - 2$ 时， $\vec{F A}$ 与 $\vec{F B}$ 的夹角必为钝角 D、当 $m = - 2$ 时， $∠ A O B$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{A B} = (1, - 3), \vec{A C} = (- 1, tan α), A, B, C$ 三点共线，则 $tan (α + \frac{3 π}{4}) =$ .

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot n, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $b_{n} = 2^{|a_{n}|}$ .则 $S_{985} =$ ， $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{2 n + 1} =$ .

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14. 若 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (2 x - 3)$ 为奇函数， $f (2) = 1$ ，则 $f (3) + f (8) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b sin (A + B) - c sin \frac{A + C}{2} = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 5, a + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - \ln x - \ln (3 a)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E ∥ B F$ ， $A D = D E = 2$ ， $B F = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $F A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、试问线段 $C D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得平面 $A E F$ 与平面 $B F P$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ？若存在，请判断点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为了提高检测效率，决定将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N人，决定n人为一组进行混检，

(1)、若 $N = 4, n = 2$ ，每人被病毒感染的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，记检测的总管数为X，求X的分布列：

(2)、若 $N = 18, n = 3$ .每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z，求Z的期望.

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 1)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x, C$ 的焦距为 $t$ ，且 $a^{4} + b^{4} + 4 = t^{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为 $C$ 上的一点，且 $P$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 外一点，过 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ （斜率都存在）， $l_{1}$ 与 $C$ 交于另一点 $M, l_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $N$ ，证明：
（i） $l_{1}, l_{2}$ 的斜率之积为定值；
（ii）存在定点 $A$ ，使得 $M, N$ 关于点 $A$ 对称.

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