贵州省毕节市2024届高三第二次诊断性考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 设集合 $U = R$ ，集合 $M = \{x| x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $\{- 2\} =$ （）

A、 $M \cap ∁_{U} N$ B、 $∁_{U} (M \cup N)$ C、 $∁_{U} (M \cap N)$ D、 $N \cap ∁_{U} M$

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2. 已知圆锥的底面圆的面积为 $3 π$ ，侧面展开图为一个扇形，其面积为 $9 π$ ，则该圆锥的母线长为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 若 $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，且 $\tan θ = - \sqrt{15}$ ，则 $\cos \frac{θ}{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{4}$

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4. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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5. 已知点 $M$ 在圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ 上，点 $A (0, - 2)$ ， $B (- 2, 0)$ ，则当 $∠ M A B$ 最大时， $|M A| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{30}$ D、6

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6. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} (n \geq 2, n \in N *)$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、81 B、54 C、32 D、 $\frac{1}{81}$

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7. 已知奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${[f (2024)]}^{2} - {[g (2024)]}^{2} = 1$ B、 $f (2024) = f (1012) g (1012)$ C、 $g (2024) = {[f (1012)]}^{2} + {[g (1012)]}^{2}$ D、 $f (2024) - g (2024) = e^{- 2024}$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交双曲线的右支于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，且满足 $\vec{B F_{2}} = \frac{5}{8} \vec{F_{2} A}$ ， $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{5 \sqrt{26}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若复数 $z$ 满足 $z - \bar{z} = 4 i$ ， $|z| = |z + 2|$ ，则（）

A、在复平面内， $z$ 对应的向量与 $i$ 对应的向量所成角的正切值为2 B、在复平面内， $z$ 对应的点 $Z$ 在第四象限 C、 $z$ 的虚部为2 D、 $z$ 的实部为 $- 1$

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10. 已知 $2 5^{a} = 2^{b} = 100$ ，则下列式子中正确的有（）

A、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ C、 $a b > 8$ D、 $a + 2 b > 9$

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11. 已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ ，方程 $f (x) = a$ 有两个不等实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $f (x) \leq \frac{1}{e}$ B、 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, \frac{1}{e})$ C、 $\frac{\ln x_{1} - \ln x_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 1$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $(x - 1) {(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（用数字作答）.

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} = b^{2} - 2 \sqrt{3} b c + c^{2} + \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} \sin 2 A - \cos 2 A = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均4，且 $∠ B_{1} A_{1} D_{1} = 60 °$ ，则以 $D$ 为球心， $2 \sqrt{7}$ 为半径的球面与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为 $[3, 5)$ ， $[5, 7)$ ， $[7, 9)$ ， …， $[17, 19)$ ， $[19, 21]$ 九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；

(2)、据统计，在样本数据 $[3, 9)$ ， $[9, 15)$ ， $[15, 21]$ 的会员中体检为“健康”的比例分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{3}{5}$ ，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.

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16. 函数 $f (x) = m [x + f^{'} (1) - m] - \ln x$ （ $m$ 为实数）.

(1)、若 $m = 2$ ，判断直线 $y = \frac{3}{2} x - 1 - \ln 2$ 与 $f (x)$ 的图象是否相切，并说明理由；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的值.

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17. 如图所示，在四棱锥 $P - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 是梯形，且 $B E ∥ C D$ ， $B E ⊥ B C$ ，若 $B E = 2 B C = 2 D C = 8$ ， $P B = P C = 2 \sqrt{5}$ ， $P D = 6$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - P C - D$ 的平面角的正弦值.

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18. 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，点 $M$ 在线段 $P D$ 上，且满足 $|D P| = \sqrt{2} |D M|$ .

(1)、当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若曲线 $E$ 与 $x$ ， $y$ 轴的正半轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，点 $N$ 是 $E$ 上第三象限内一点，线段 $A N$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，线段 $B N$ 与 $x$ 轴交于点 $G$ ，求四边形 $A B G H$ 的面积.

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19. 若数列 $\{a_{n}\}$ 每相邻三项满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n - 1}} = \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n} - a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N *$ ），则称其为调和数列.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为调和数列，证明数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、调和数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} > \ln (n + 1)$ .

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