代数式求值之定义新运算—人教版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-09 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如果规定符号“※”的意义是 $a ※ b = a^{2} - b$ ，则 $(- 2) ※ (- 3)$ 的值为（）

A、7 B、 $- 7$ C、12 D、 $- 12$

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2. 对于任意实数a和b，如果满足 $\frac{a}{3} + \frac{b}{4} = \frac{a + b}{3 + 4} + \frac{2}{3 \times 4}$ 那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）.若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣2 D、﹣1

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3. 历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a的多项式的值用f（a）来表示．例如x=-1时，多项式f（x）=x²-2x的值记为f（-1），那么f（-1）的值等于（）

A、3 B、-1 C、1 D、-3

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4. 定义一种对正整数n的“ $F$ ”运算：
①当n为奇数时， $F (n) = 3 n + 1$ ；
②当n为偶数时， $F (n) = \frac{n}{2^{k}}$ （其中 $k$ 是使 $F (n)$ 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，若 $n = 13$ ，则第 $2022$ 次“F”运算的结果是（）

A、1 B、4 C、2020 D、4²⁰²⁰

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5. 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母

a

，

b

，

c

，

\dots

，

z

（不论大小写）依次对应1，2，3，

\dots

，26这26个自然数(见表格)，当明码对应的序号

x

为奇数时，密码对应的序号

\frac{x + 1}{2}

，当明码对应的序号

x

为偶数时，密码对应的序号

\frac{x}{2} + 13

，按下述规定，将明码“

l o v e

”译成密码是：

字母	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$	$h$	$i$	$j$	$k$	$l$	$m$
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
字母	$n$	$o$	$p$	$q$	$r$	$s$	$t$	$u$	$v$	$w$	$x$	$y$	$z$
序号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

A、

s h x c

B、

g a w q

C、

s d r i

D、

l o v e

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二、填空题

6. 定义一种新运算法则： $| \begin{array}{l} a \\ b \end{array} \begin{array}{l} c \\ d \end{array} |$ =ad- bc，则 $| \begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array} \begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array} |$ =

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7. 定义运算法则： $a \oplus b = a^{2} + a b$ ，例如 $3 \oplus 2 = 3^{2} + 3 \times 2 = 15$ ，若 $2 \oplus x = 10$ ；则 $4 x^{2} + 2 x + 1$ 的值为．

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8. 定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x²﹣2与x+4互为平衡数，则代数式4x²﹣2x﹣11＝．

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9. 如果把关于 $x$ 的多项式的值用记号 $f (x)$ 来表示，那么，把 $x$ 等于某数 $a$ 时的多项式的值用 $f (a)$ 来表示．对于多项式 $f (x) = {(- 1)}^{x} \cdot 2 m x + {(- 1)}^{x} n x$ ，若 $f (1) = 5$ ，则 $f (4)$ 的值为．

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10. 对于实数a，b，定义运算“*”：a*b= ${\begin{matrix} a^{2} - a b (a \geq b) \\ a - b (a < b) \end{matrix}$ ，例如：因为4＞2，所以4*2=4²﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）= ．

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11. 我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为有理数 $a (a \neq 1)$ 的差倒数，如：2的差倒数 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ， $- 2$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 2)} = \frac{1}{3}$ ，如果 $a_{1} = - 3$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数，…依次类推，那么 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2017} - a_{2018} + a_{2019} - a_{2020} + a_{2021} - a_{2022} + a_{2023}$ 的值是.

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三、解答题

12. 对于任何数，我们规定： $|\begin{matrix} a b \\ c d \end{matrix}|$ ＝ad﹣bc．例如： $|\begin{matrix} 1 2 \\ 3 4 \end{matrix}|$ ＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．

(1)、按照这个规定，请你化简 $|\begin{matrix} - 5 2 \\ 8 4 \end{matrix}|$ ；

(2)、按照这个规定，请你计算：当 $a^{2} - 4 a + 1 = 0$ 时，求 $|\begin{matrix} a + 2 3 \\ a - 1 a - 3 \end{matrix}|$ 的值．

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13. 一般情况下 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： $a = b = 0$ ．我们称使得 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ 成立的一对数a ， b为“相伴数对”，记为 $(a ， b)$ ．

(1)、填空： $(- 4 ， 9)$ “相伴数对”（填“是”或“否”）；

(2)、若 $(m ， n)$ 是“相伴数对”，求代数式 $m - \frac{22}{3} n - [4 m - 2 (3 n - 1)]$ 的值．

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14. 已知代数式 $A = 2 (x + y) - (\oplus x - y)$ ，其中“ $\oplus$ ”数字印刷不清．

(1)、①若数字“ $\oplus$ ”猜测成数字3，请化简整式A；
②在①的基础上，x＝－1，y＝－2，求A的值．

(2)、小红说：代数式A的值只与y有关，根据小红说法，求出“ $\oplus$ ”代表的数字．

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15. 关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与 $- a$ 时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式 $x^{2}$ 是“偶代数式”， $x^{3}$ 是“奇代数式”．

(1)、以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上．
① $|x| + 2$ ；② $x^{3} - x$ ；③ $2 x^{2} - 1$ ．

(2)、某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取 $- 2$ 时，代数式的值为多少？

(3)、对于整式 $x^{5} - x^{3} + x^{2} + x + 1$ ，当x分别取 $- 4$ ， $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______．

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