代数式求值之定义新运算—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-09 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 规定 $x ◎ y = x y - y^{2}$ ．则 $\frac{1}{2} ◎ (- 2)$ （）

A、 $- 5$ B、3 C、 $- 3$ D、1

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2. 现定义一种新运算：a※ $b = b^{2} - a b,$ 如：1※2 $= 2^{2} - 1 \times 2 = 2,$ 则(-1※2)※3等于( )

A、-9 B、-6 C、6 D、9

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3. 规定一种新运算“ $*$ ”： $a * b = (a - b) - | b - a |$ ．则 $(- 3) * 2$ 的值为（）．

A、10 B、0 C、-10 D、-6

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4. 对于任意的有理数 $a ， b$ ，如果满足 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ ，那么我们称这一对数 $a ， b$ 为“相随数对”，记为 $(a ， b)$ ．若 $(m ， n)$ 是“相随数对”，则 $3 m + 2 [3 m + (2 n - 1)] =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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5. 数学家欧拉最早用记号 $f (x)$ 表示关于 $x$ 的多项式，用 $f (a)$ 表示 $x$ 等于某数 $a$ 时的多项式的值．例：多项式 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ，当 $x = 4$ 时，多项式的值 $f (4) = 4^{2} - 4 + 1 = 13$ ．已知多项式 $f (x) = m x^{3} - n x + 1$ ，当 $x = 1$ 时，多项式的值 $f (1) = 2023$ ，则 $f (- 1)$ 的值为（）

A、 $- 2021$ B、 $- 2022$ C、 $- 2023$ D、2022

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6. 自定义运算： $a ☆ b = {\begin{array}{l} a - 2 b (a < b) \\ 2 a - b (a \geq b) \end{array}$ 例如： $2 ☆ (- 4) = 2 \times 2 - (- 4) = 8$ ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 $(m + n) ☆ (m - n) = 7$ ，则 $6 n - 2 m + 2021$ 的值等于（）

A、2028 B、2035 C、2028或2035 D、2021或2014

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二、填空题

7. 定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若a⊕（﹣6b）＝﹣2 $\frac{1}{4}$ ，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为．

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8. 定义：若 $a - b = 0$ ，则称 $a$ 与 $b$ 互为平衡数，若 $2 x^{2} - 2$ 与 $x + 4$ 互为平衡数，则代数式 $4 x^{2} - 2 x - 11 =$ ．

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9. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为 $3 n + 1$ ；②当n为偶数时，结果为 $\frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取 $n = 25$ 时，运算过程如图．若 $n = 34$ ，则第2024次“F运算”的结果是．

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10. 定义一个运算 $f (a, b) = \{\begin{cases} a + b (a < b) \\ a - b (a > b) \end{cases}$ ，已知 $|a - 2| = 1$ ， $b = 2$ ，那么 $f (a, b) =$ ．

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三、解答题

11. 对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下： $m @ n = m - 3 n$ ．根据以上规定解答下列各题：

(1)、计算： $4 @ (- 3)$ 的值；

(2)、若 $x + 2 y - 3 = 0$ ，求 $(x - y) @ (x + y)$ 的值．

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12. 若有理数p ， q满足 $p + q = p q$ ，则称“ p ， q”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为 $2 + 2 = 2 \times 2$ ，所以“2 ，2”是“等效有理数对”．

(1)、通过计算判断“3 ， $\frac{3}{2}$ ”是不是“等效有序数对” ；

(2)、若“ $x + 1$ ， 4”是“等效有理数对”，求x的值；

(3)、已知“p ， q”是“等效有理数对”，求代数式 $2023 - 2022 p q + 2022 p + 2022 q$ 值．

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13. 定义如下：使等式 $m n = m^{2} - 2 n - 2$ 成立的一对有理数 $m ， n$ 叫“理想有理数对”，记为 $(m ， n)$ ，如： $3 \times \frac{7}{5} = 3^{2} - 2 \times \frac{7}{5} - 2$ ，所以数对 $(3 ， \frac{7}{5})$ 是“理想有理数对”．

(1)、判断数对 $(2 ， \frac{1}{2})$ 是否为“理想有理数对”，并说明理由；

(2)、若数对 $(- 1 ， p)$ 是“理想有理数对”，求代数式 $p^{3} - 2 (p - 1)$ 的值．

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14. 阅读材料：对于任何数，我们规定符号 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 的意义是 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ .
例如： $| \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ .

(1)、按照这个规定，请你计算 $| \begin{array}{l} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ 的值；

(2)、按照这个规定，请你计算 ${(x - 2)}^{2} + {(y + \frac{1}{5})}^{2} = 0$ 时， $| \begin{array}{l} - 3 x^{2} + y & x^{2} + y \\ 3 & - 2 \end{array} |$ 的值.

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15. 一般情况下 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： $a = b = 0$ 等，我们称使得 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ 成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）

(1)、若 $(1 ， b)$ 是“相伴数对”，求b的值；

(2)、写两个“相伴数对” $(m ， n)$ ，其中 $m \neq 0$ ，且 $m \neq 1$ ；

(3)、若 $(x ， y)$ 是“相伴数对”，求代数式 $x - \frac{22}{3} y - [4 x - 2 (3 y - 2023)]$ 的值．

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