广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025届高三鲲鹏班上学期第三次质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-10-21 类型：月考试卷

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一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 2}{x - 2} \geq 0\}$ ， $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2\}$ D $\{- 2, 2\}$

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2. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A E = 2 E B$ ， $D F = F C$ ，若 $\vec{C B} = \vec{m}$ ， $\vec{C E} = \vec{n}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{3}{2} \vec{n}$

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3. 已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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4. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 是奇函数，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，则 $t min$ 后物体的温度 $θ ℃$ 满足公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ （其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是 $80 ℃$ 的牛奶放在 $20 ℃$ 空气中，冷却 $2 min$ 后牛奶的温度是 $50 ℃$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k = ln 2$ B、 $k = 2 ln 2$ C、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $4 min$ D、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $2 min$

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6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A、0.475 B、0.525 C、0.425 D、0.575

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7. 已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，点 $P$ 是圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $6 - \frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x ln x, x > 0, \\ - x^{2} - 2 x + 1, x \leq 0, \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - a$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a < - \frac{1}{e}$ ，则 $g (x)$ 恰有2个零点 B、若 $g (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup (2, + \infty)$ C、若 $g (x)$ 恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $[0, 1)$ D、若 $1 \leq a < 2$ ，则 $g (x)$ 恰有3个零点

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二、多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

9. 已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若复数 $z_{2}$ 满足 $z_{2} = \frac{5 i}{2 - i} + 5 i$ ，则 $z_{2}$ 在复平面对应的点是 $(- 1, 7)$ D、若 $z_{1} = - 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p = 8$

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10. 若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq - 2$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a + \ln b < 0$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$

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11. 已知圆台 $O O_{1}$ 上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面 $A B C D$ 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）

A、 $A A_{1} ⊥ B D$ B、二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ C、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$ D、设圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (B) = \frac{3}{5}, P (A ∣ B) = \frac{1}{3}, P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A) =$ ．

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13. 设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) \cos x - 3 x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2 a, - 6)$ 的切线方程为．

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14. 如下图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 14 cm， $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}$ 分为3：4的两部分，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，依照相同的规律，得到正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} 、 A_{4} B_{4} C_{4} D_{4} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . 一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 爬行，设其爬行的长度为 $x$ ， $K$ 为正整数，且 $x$ 与 $K$ 恒满足不等式 $x \leq K$ ，则 $K$ 的最小值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 设三角形 $A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 且 $s i n (B + C) = 2 \sqrt{3} s i n^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $B C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$ ，求三角形 $A B C$ 的周长．

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_{2} + a_{4} = b_{4} + 2$ ， $a_{1} + a_{3} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{9}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

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17. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{1 - x}}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，并写出函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明），若 $g (- a^{2} - 1) + g (4 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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19. 函数 $f (x) = \ln x, g (x) = x^{2} - x - m + 2$ ．

(1)、若 $m = e$ ，求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x) + g (x) \leq x^{2} - (x - 2) e^{x}$ 在 $x \in (0, 2]$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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