广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-06 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |1 < x^{2} < 5\}, B = \{- 2, - 1, 0, 2\}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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2. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = b^{3}$ ”是“ $3^{a} = 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 曲线 $y = \sin x$ 在原点处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\cos 1$ D、1

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4. 若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个集合， $A \cup B = B \cap C$ ，则一定有（　　）

A、 $A \subseteq C$ B、 $C \subseteq A$ C、 $A \neq C$ D、 $A = \emptyset$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 中心对称， $f (2 x + 2)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， $Peukert$ 于1898年提出蓄电池的容量 $C$ （单位： $Ah$ ），放电时间 $t$ （单位： $h$ ）与放电电流 $I$ （单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n$ 为 $Peukert$ 常数.为测算某蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 30 A$ 时，放电时间 $t = 15 h$ ；当放电电流 $I = 40 A$ 时，放电时间 $t = 8 h$ .若计算时取 $lg 2 \approx 0.3$ ， $lg 3 \approx 0.477$ ，则该蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ 大约为（）

A、1.25 B、1.75 C、2.25 D、2.55

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7. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， “存在 $m, n \in [0, \frac{π}{2}]$ ，函数 $f (x)$ 的图象既关于直线 $x = m$ 对称，又关于点 $(n, 0)$ 对称”是“ $ω \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知关于 $x$ 的不等式 $(\frac{1}{2} sin x - 2 a) [x^{2} - (2 a + 1) x + 1] \leq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{16}, \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(x^{a})}^{'} = a x^{a - 1}$ D、 ${({log}_{a} x)}^{'} - {(\frac{ln x}{ln a})}^{'} = \frac{1}{x ln a}$

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10. 已知函数 $f (x) = |\lg x|, 0 < a < b,$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则（）

A、 $a b = 1$ B、 $a b = 10$ C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} > 8$

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11. 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 $P (x = i) = P_{i} > 0$ （ $i = 1$ ， 2，…n） $\sum_{i = 1}^{n} P_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (x) = - \sum_{i = 1}^{n} P_{i} \log_{2} P_{i}$ ，则下列说法正确的有（）

A、n=1时 $H (x) = 0$ B、n=2时，若 $P_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ ，则 $H (x)$ 与 $P_{1}$ 正相关 C、若 $P_{1} = P_{2} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ ， $P_{k + 1} = 2 P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ ， $H (x) = 2 - \frac{n}{2^{n - 1}}$ D、若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (y = j) = P_{j} + P_{2 m + 1 - j}$ （j=1，2，…，m）则 $H (x) \geq H (y)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知命题“ $\exists x \in [1, 5]$ ，使得 $e^{x} - \frac{1}{x} - a < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. 若 $\forall a \in [e, 4)$ 有 $b < a^{3} + a - 4 \ln a - 1,$ 则 $b$ 的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} e^{x}$ ，其极大值点和极小值点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，记点 $A (x_{1}, f (x_{1})), A (x_{2}, f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 交曲线 $y = f (x)$ 于点 $C$ ，若存在常数 $λ \in (n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，使得 $|A B| = λ |B C|$ ，则 $n =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 设集合 $P = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $Q = \{x |3 a < x \leq a + 1\}$ .

(1)、若 $Q \neq \emptyset$ 且 $Q \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $P \cap Q = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16. 函数 $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ 的定义域为 $x \in [- 1, 1]$ ．

(1)、设 $t = 2^{x}$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{y}{2^{x}} > m$ 恒成立，求 $m$ 的范围．

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17. 已知函数 $f (x) = - 4 a ln x + x^{2} - 1.$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值.

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18. 2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长 $57.9 %$ .作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量 $C$ （单位： $K W h$ ）与速度 $v$ （单位： $k m / h$ ）在 $40 \sim 100 k m / h$ 的函数关系为 $C (v) = l n v + 0.5 v + \frac{1012}{v} - 40$ .假设电价是1元 $/ K W h$ .

(1)、当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？

(2)、已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资 $+ \frac{3.35 \times 1 0^{5}}{v} - 5700$ ，甲地到乙地的距离为 $100 k m$ ，最经济的车速是 $94 k m / h$ ，则司机每小时的工资为多少元？

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19. 已知 $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = n^{2} + n$ ，函数 $f_{n} (x) = e^{x} - x + \ln a_{n} - a_{n}$ .

(1)、若 $f_{n} (x) \geq 0$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $\frac{2 b_{n}}{2 b_{n} - 1} < a_{n} < \frac{b_{n} + 1}{b_{n}}$ .记M为 $f_{1} (x), f_{2} (x), \cdot \cdot \cdot, f_{n} (x)$ 的所有零点组成的集合， $X, Y$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $X \cap Y = \emptyset$ .设. $x_{i} \in X, y_{i} \in Y, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}, y_{1} > y_{2} > \dots > y_{n}$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + 1) (y_{i} + 1) < n$ .

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