广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三上学期第一次诊断测试数学试题

试卷更新日期：2024-10-15 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知集合 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ =（　　）

A、 $\{- 2, 3\}$ B、 $\{- 2, 2, 3\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 2, 3\}$

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2. $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内不共线两向量，已知 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若A，B，D三点共线，则k的值是（）．

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、2

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3. 若 $α$ 是第三象限角，且 $\sin (α + β) \cos β - \sin β \cdot \cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\tan \frac{α}{2}$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{5}{13}$ D、 $\frac{5}{13}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则函数 $F (x) = \frac{f (x + 1)}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[- 3, 1]$ C、 $[- 1, 0 ） ∪ （ 0, 3]$ D、 $[- 3, 0 ） ∪ （ 0, 1]$

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5. 已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - 3 + a^{2})$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(2, + \infty)$

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6. 已知平面向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{2}}| = 2 |\vec{e_{1}}| = 2, \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量为 $- \vec{e_{1}}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{e_{2}}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ D、 $- \vec{e_{2}}$

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7. 已知关于 $x$ 不等式 $\frac{(x - 2) (a x + b)}{x - c} \geq 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2] \cup (1, 2]$ ，则（）

A、 $c = 2$ B、点 $(a, b)$ 在第二象限 C、 $y = a x^{2} + b x - 2 a$ 的最大值为 $3 a$ D、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x - b \geq 0$ 的解集为 $[- 2, 1]$

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8. 已知 $a > 0, x_{1}, x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = x e^{x} - a$ 与 $g (x) = - \frac{ln x}{x} - a$ 的零点，则 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2} e^{a - x_{1}}}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{4}{e^{2}}$ D、 $\frac{8}{e^{2}}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（）．

A、 $sin (A + B) = sin C$ B、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ D、若 $\frac{a}{cos \frac{A}{2}} = \frac{b}{cos \frac{B}{2}} = \frac{c}{cos \frac{C}{2}}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形

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10. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $z_{1}^{2} < 0$ ，则 $z_{1}$ 为纯虚数

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11. 若定义在R上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， $f (x + 3) + g (x) = 2$ ， $f (x) + g (1 - x) = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $g (x)$ 是周期为4的周期函数 C、 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} g (n) = 30$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = a^{- x + 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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13. 若曲线 $y = e^{x + a}$ 过坐标原点的切线与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 相切，则实数 $a =$ .

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14. 已知 $3^{a} = 2 + 3^{b}$ ，则 $2 a - b$ 的最小值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、若 $f (θ) = \frac{8}{5}$ ，求 $\cos (\frac{π}{3} - 2 θ)$ 的值.

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16. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 4^{x} + 5^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 2 \times 3^{x}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x, a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x > 0$ ，都有 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，满足 $a \sin B - \sqrt{3} b \cos B \cos C = \sqrt{3} c \cos^{2} B$ （其中 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边）.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若角 $B$ 的平分线 $B D$ 长为1，且 $a c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 1$ ，求 $a + b$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 1 (a \in R)$ ，且x轴是曲线 $y = f (x)$ 的切线，

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} < \ln 2 (n \in N^{*})$ ；

(3)、设 $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln x - m f (\frac{1}{x}) (m > 2)$ ， $F (1) = F (n) (n > 1)$ ，证明：对任意 $x \in (1, n]$ ， $(m - 1) \ln x > x - 1$ ．

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