广东省深圳市深圳中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题

试卷更新日期：2024-10-14 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A、甲、乙、丙 B、乙、甲、丙 C、丙、乙、甲 D、甲、丙、乙

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3. 已知 $a = {log}_{0.2} 0.3, b = {log}_{2} 3, c = {log}_{3} 4$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4. 已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(a ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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5. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- tan α, - 3)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 直线 $y = k x + b$ 与函数 $y = e^{x - 1}$ 和 $y = e^{x} - 2$ 的图象都相切，则 $b =$ （）

A、2 B、 $ln 2$ C、 $1 + ln 2$ D、 $- 2 ln 2$

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7. 如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y = \sin 2 x$ ， $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ ， $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是

A、 B、 C、 D、

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8. 已知实数x，y满足： $x + 2^{x} = 2$ ， $2 y + \log_{2} y = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的值是（）．

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $a > 0, b > 0, m > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列一定正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\sqrt{a} sin m + \sqrt{b} cos m \leq 1$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ ，其中 $a$ ， $b$ 为实数，则下列条件能使函数 $f (x)$ 仅有一个零点的是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 3$ ， $b = 2$ C、 $a = 0$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 2$

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11. 定义：实数 $x, y, m$ 满足 $|x - m| > |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$ .已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D = \{x ∣ x \neq \frac{k π}{3}, k \in Z\}$ ，任取 $x \in D, f (x)$ 等于 $3 cos x$ 和 $1 - cos 2 x$ 中远离0的那个值，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 3]$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{4 π}{3}, - π)$ 上单调递减

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.

12. 若函数f(x)=xln(x+ $\sqrt{a + x^{2}}$ )为偶函数，则a= 。

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13. 若函数 $f (x) = cos 2 x - 2 a cos x - 2 < 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 设 $A (0, 0), B (4, 0), C (t + 4, 4), D (t, 4) (t \in R)$ ，记 $N (t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横､纵坐标都是整数的点，则函数 $N (t)$ 的值域为.

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四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $α, β$ 为锐角， $tan α = \frac{4}{3}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos 2 α$ 与 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α - β)$ 的值.

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16. 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{cases} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, 0 < x \leq 10 \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, x > 10 \end{cases}$ .
（注：年利润=年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润W（万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

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17. 设函数 $f (x) = sin ω x cos φ + cos ω x sin φ (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $tan φ$ 的值.

(2)、若 $φ = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上为增函数，求 $ω$ 的最大值.

(3)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $ω, φ$ 的值.条件①： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}]$ 上单调递减；条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a + ln x}{x}, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 2$ 时，不等式 $f (x) < t e^{x - 3}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x} cos x$ ，其中 $a > 0, x \in [0, + \infty)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $0 < a \leq 1$ 时，令 $m (x) = f (x) - x$ ，求函数 $m (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值；

(3)、记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个极值点，若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq |f (x_{n})|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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