广东省深圳市红山中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题（2024.8）

试卷更新日期：2024-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |x > - \sqrt{2}\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- \sqrt{2} < x \leq 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1\}$

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2. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，则复平面内点 $Z$ 满足 $|z - (2 + 3 i)| = 2$ 的图形的面积是（）

A、2 B、4 C、 $2 π$ D、 $4 π$

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3. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{2} = 6$ ，若直线l过点 $M (m, a_{m})$ ， $N (n, a_{n}) (m \neq n, m, n \in N^{*})$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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4. 函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, e)$ C、 $(e, 3)$ D、 $(3, 4)$

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5. 设 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则 $l ⊥ α$ 的必要不充分条件是（）

A、直线 $l$ 与平面 $α$ 内的无数条直线垂直 B、直线 $l$ 与平面 $α$ 内任意直线都垂直 C、直线 $l$ 与平面 $α$ 内两条不平行直线垂直 D、直线 $l$ 与平面 $α$ 都垂直于同一平面

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6. 设事件A，B满足 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$

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8. 克罗狄斯 $\cdot$ 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $A D = 2 C D$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B D$ 的最大值为（）

A、 $5$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在正方体中，下列说法正确的是（）

A、正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B、以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C、以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D、以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个

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10. 某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的 $\frac{3}{5}$ ，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的 $\frac{1}{2}$ ．如果依据 $α = 0.05$ 的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据 $α = 0.01$ 的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有（）
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.05$
$0.01$
$k_{0}$
$3.841$
$6.635$
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

A、150人 B、225人 C、300人 D、375人

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11. 已知 $P$ 为直线 $l : 3 x + 4 y - 9 = 0$ 上动点， $P M, P N$ 分别与圆 $E : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相切于 $M, N$ 两点，则弦 $M N$ 的长度可能是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知角 $θ$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，则 $\cos 2 θ =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (3 - a) x - 1, x < 1 \\ x^{a}, x \geq 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数a的可以是．（写出一个满足题意的a即可）

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14. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $5$ 项分别为 $1$ ， $3$ ， $6$ ， $10$ ， $15$ ，设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2024} =$ .

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四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos A - a \cos B = c - a$ ， $a = 2$ ， $\sin C = \frac{1}{7}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，将长方形 $O A A_{1} O_{1}$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，其中 $O A = 1$ ， $O O_{1} = 2$ ，劣弧 $A B$ 的长为 $α$ ， $A_{1} B_{1}$ 为圆 $O_{1}$ 的直径，平面 $A O B$ 与平面 $A_{1} O_{1} B$ 的交线为 $l$ .

(1)、证明： $l / / O A$ ；

(2)、若平面 $A O B$ 与平面 $A_{1} O_{1} B$ 夹角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求四棱锥 $B - O A A_{1} O_{1}$ 的体积．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、若 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为偶函数， $h (x)$ 为奇函数，求函数 $g (x)$ 的解析式以及最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 的图像与直线 $l : y = k x + 1$ 相切，求实数 $k$ 的值.

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18. 2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中 $\frac{1}{4}$ 的人计划只参观冰雪大世界，另外 $\frac{3}{4}$ 的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．

(1)、从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、从游客中随机抽取 $n$ 人（ $n \in N^{*}$ ），记这 $n$ 人合计纪念币的个数恰为 $n + 1$ 的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{1} + P_{2} + \dots + P_{n}$ .

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19. 已知两点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $F (2, 0)$ 作直线 $l$ 交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ．
①证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得 $△ P F H$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.05$	$0.01$
$k_{0}$	$3.841$	$6.635$