广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷

试卷更新日期：2024-10-22 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 样本数据 $1, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ 的第30百分位数为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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2. 已知集合 $A = \{x |0 < x^{2} < 5\}$ ， $B = \{x \in Z ||x - 1| < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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3. 若 $\frac{z + 1}{z} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $- i$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、0 C、1 D、-2

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5. 已知 $\sin (α - β) = m$ ， $\tan α = 2 \tan β$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、m B、 $- m$ C、 $3 m$ D、 $4 m$

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6. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 已知函数为 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{3} + a x + 1, x < - 1 \\ e^{x + 1} + \ln (x + 2), x \geq - 1 \end{array}$ ，在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 3]$ C、 $[- 3, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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8. 函数 $f (x) = \cos x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 在 $[0, \frac{13 π}{6}]$ 上的零点个数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知变量 $X$ 服从正态分布 $X ∼ N (0, σ^{2})$ ，当 $σ$ 变大时，则（）

A、 $P (- \frac{1}{2} < X < \frac{1}{2})$ 变小 B、 $P (- \frac{1}{2} < X < \frac{1}{2})$ 变大 C、正态分布曲线的最高点下移 D、正态分布曲线的最高点上移

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10. 对于正数a，b， $\exists x_{0} \in [0, + \infty)$ ，使 $(x_{0} + a) \cdot e^{x_{0} + b} \leq 1$ ，则（）

A、 $a e^{b} > 1$ B、 $a b \leq \frac{1}{e}$ C、 $a b^{2} \leq \frac{4}{e^{2}}$ D、 $a + b \leq 1$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，若 $f (x + y + 1) = f (x) + f (y) - 1$ ，且 $f (0) = 2$ ，则（）

A、 $f (- 1) = - 1$ B、 $f (x)$ 无最小值 C、 $\sum_{i = 1}^{40} f (i) = 900$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 中心对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m$ 与函数 $f (x) = \ln x + x$ 在公共点处的切线相同，则实数m的值为.

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13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $B = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $a = 1$ ， M为AB的中点，则线段CM的长为.

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14. 为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.
奖品
一个健身背包
一盒蛋白粉
概率
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}$
则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为.

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四、解答题：

15. 如图，在直角 $△ P O A$ 中， $P O ⊥ A O$ ， $P O = 2 A O = 4$ ，将 $△ P O A$ 绕边PO旋转到 $△ P O B$ 的位置，使 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，得到圆锥的一部分，点C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点，且 $\overset{⌢}{A C} = \frac{1}{4} \overset{⌢}{A B}$ .

(1)、求点O到平面PAB的距离；

(2)、设直线OC与平面PAB所成的角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的值.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $A (2, - 1)$ 在椭圆上.

(1)、求该椭圆的方程；

(2)、直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且 $∠ P A Q = \frac{π}{2}$ ，求 $△ P A Q$ 的面积.

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17. 函数 $f (x) = \ln x, g (x) = x^{2} - x - m + 2$ ．

(1)、若 $m = e$ ，求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x) + g (x) \leq x^{2} - (x - 2) e^{x}$ 在 $x \in (0, 2]$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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18. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\frac{2}{5}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $n (n \geq 2)$ .

(1)、求p；

(2)、当 $n = 2$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)、若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $P_{n} (A)$ ，证明： $\frac{8}{15} \leq P_{2} (A) + P_{3} (A) + \cdot \cdot \cdot + P_{n} (A) < \frac{8}{9}$ .

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19. 定义：任取数列 $\{a_{n}\}$ 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质3”.已知项数为n的数列 $\{a_{n}\}$ 的所有项的和为 $M_{n}$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质3”.

(1)、若 $n = 4$ ，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，写出所有可能的 $M_{n}$ 的值；

(2)、若 $a_{1} = 2024$ ， $n = 2023$ ，证明：“ $a_{2023} = - 4042$ ”是“ $a_{k} > a_{k + 1} (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2022)$ ”的充要条件；

(3)、若 $a_{1} = 0$ ， $n \geq 2$ ， $M_{n} = 0$ ，证明： $n = 4 m$ 或 $n = 4 m + 1$ ，（ $m \in N^{*}$ ）.

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奖品	一个健身背包	一盒蛋白粉
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$