2025届广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟（一模）考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-18 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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2. 某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为

A、 $66$ B、 $54$ C、 $40$ D、 $36$

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3. 已知点F，A分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点、右顶点， $B (0, b)$ 满足 $\vec{F B} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A、60个 B、48个 C、36个 D、24个

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $f (2) = 0$ ，则 $(x - 1) \cdot f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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6. 19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，若其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $a_{12}$ B、 $a_{12} - 1$ C、 $a_{12} - 2$ D、 $a_{12} - 3$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{3π}{4}$

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8. 设函数 $f （ x ） = x^{3} - x^{2} + 2 x$ ，则

A、函数 $f (x)$ 无极值点 B、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极小值点

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二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 午饭时间；B同学从教室到食堂的路程 $S$ 与时间 $t$ 的函数关系如图，记 $t$ 时刻的瞬时速度为 $V (t)$ ，区间 $[0, t_{1}], [0, t_{2}], [t_{1}, t_{2}]$ 上的平均速度分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $V_{1} < V_{2} < V_{3}$ B、 $\frac{V_{1} + V_{3}}{2} < V_{2}$ C、对于 $V_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，存在 $m_{i} \in (0, t_{2})$ ，使得 $V (m_{i}) = V_{i}$ D、整个过程小明行走的速度一直在加快

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $x_{1} \cdot \ln x_{2} > x_{2} \cdot \ln x_{1}$ C、若函数 $y = f (|x|) - k (k \in R)$ 有两个零点，则 $k = e$ D、设 $g (x) = x^{2} + a (a \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a \geq e$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，焦点为 $F$ 的抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，过 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的另一交点为 $N$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、 $|M F| = 3$ C、 $|M N| = 12 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线相交于点 $(3, - 1)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若函数 $f (x) = x e^{x} - (m - 1) e^{2 x}$ 存在唯一极值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P、Q分别在 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} P = 2 P B_{1}$ ， $C_{1} Q = 2 Q D_{1}$ ，则异面直线 $B P$ 与 $D Q$ 所成角的余弦值为

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{9}$ 成等比数列，则 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{a_{2} + a_{4} + a_{10}}$ 的值是.

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四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上， $B M = \frac{1}{2} M C$ ，且 $A B = B C$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的大小．

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16. 已知实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} + 2 b^{2} > a + b$ ；

(2)、证明： $|a - 2 b^{2}| + |b - 2 a^{2}| \geq 6$ ．

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17. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．

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18. 已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ （ $a_{n} \neq 0$ ， $n \in N^{*}$ ），构造新数列 $\{a_{n}^{(1)}\}$ 满足 $a_{n}^{(1)} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $\{a_{n}^{(2)}\}$ 满足 $a_{n}^{(2)} = a_{n + 1}^{(1)} - a_{n}^{(1)}$ ， …， $\{a_{n}^{(k)}\}$ 满足 $a_{n}^{(k)} = a_{n + 1}^{(k - 1)} - a_{n}^{(k - 1)}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{a_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等差数列；同理令 $b_{n}^{(1)} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ， $b_{n}^{(2)} = \frac{b_{n + 1}^{(1)}}{b^{(1)}}$ ， ……， $b_{n}^{(k)} = \frac{b_{n + 1}^{(k - 1)}}{b_{n}^{(k - 1)}}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{b_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等比数列.

(1)、已知 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{n}^{(2)} = 2$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 阶等差数列， $\{b_{n}\}$ 为一阶等比数列，证明： $\{b_{n}^{a_{n}}\}$ 为 $k$ 阶等比数列；

(3)、已知 $d_{n} = \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 1}{4^{n}}$ ，令 $\{d_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $T_{n} = \sum_{m = 1}^{n} \sqrt{S_{m} - 1}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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19. 如果三个互不相同的函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ ， $y = h (x)$ 在区间 $D$ 上恒有 $f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ 或 $g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ ，则称 $y = h (x)$ 为 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $D$ 上的“分割函数”．

(1)、证明：函数 $f_{1} (x) = x$ 为函数 $y = ln (x + 1)$ 与 $y = e^{x - 1}$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上的分割函数；

(2)、若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为函数 $y = 2 x^{2} + 2$ 与 $y = 4 x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的“分割函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $[m, n] \subseteq [- 2, 2]$ ，且存在实数 $k, d$ ，使得函数 $y = k x + d$ 为函数 $y = x^{4} - 4 x^{2}$ 与 $y = 4 x^{2} - 16$ 在区间 $[m, n]$ 上的“分割函数”，求 $n - m$ 的最大值．

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