广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-04 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |3 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0\}, B = \{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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2. 复数 $z = \frac{3 - 2 i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公差不为0．若 $a_{2}, a_{4}, a_{5}$ 成等比数列，则公差为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、1 D、 $- 1$

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4. 函数 $f (x) = sin x \cdot cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期为（）

A、4 B、2 C、 $2 π$ D、 $π$

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5. 设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，且在第一象限，若直线 $A F$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|A F| =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = {log}_{2} (2^{x} + 2^{- x})$ 的图象有交点，且交点个数为奇数，则 $f (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7. 已知点 $P$ 在圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上运动，点 $A (- 2, 0)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围为（）

A、 $[20, 30]$ B、 $(20, 30)$ C、 $[20, 25]$ D、 $(20, 25)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $(0, + \infty), f (2) = - 1$ ，且 $f (x) + x f^{'} (x) = 1$ 对于 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (6) = 0$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．

9. 中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 $2 : 1$ ，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）

A、李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ B、李明获胜的概率为 $\frac{17}{30}$ C、若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 $\frac{12}{17}$ D、若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 $\frac{6}{17}$

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10. 已知函数 $f (x) = |x - 2| e^{x} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增 B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 既无最大值，也无最小值 D、当 $a \in (1, 2)$ 时， $f (x)$ 有三个零点

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11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B ∥ A_{1} B_{1}, A A_{1} = A B = 3$ ， $\vec{B C} = \vec{A D} = λ \vec{A_{1} D_{1}}, λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时，该几何体的体积为45 B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，该几何体为台体 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 $9 π$ D、当点 $B_{1}$ 到直线 $D D_{1}$ 距离最大时，则 $λ = 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分．

12. ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $A D = B D = 2 D C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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14. 定义离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1 （ m > 16 ）$ 是“西瓜椭圆”，则 $m =$ .若“西瓜椭圆” $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过点 $F$ ，则 $k =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
450
150
600
女生
150
250
400
合计
600
400
1000

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)、用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：参考数据
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2, B C = D C = P D = 1$ ， $∠ A B C = 90 °, A B ∥ C D$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D, P D ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值．

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17. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，右焦点到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为1，两动点 $A, B$ 在双曲线 $C$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M (2 m, m) (m \neq 0)$ ．

(1)、证明：直线 $A B$ 的斜率 $k$ 为定值；

(2)、 $O$ 为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - a) ln (x - 1)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) < x + 1$ ；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上有且仅有一个极值点，求正实数 $a$ 的取值范围．

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19. 定义：一个正整数 $n$ 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ ，满足①②：
① $a_{1} < a_{2} < ... < a_{k - 1} < a_{k} = n (k \geq 2)$ ；
② $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{k}} = 1$ ．

(1)、写出最小的“漂亮数”；

(2)、若 $n$ 是“漂亮数”，证明： $n^{3}$ 是“漂亮数”；

(3)、在全体满足 $k = 4$ 的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数” $n$ ，求 $n - 1$ 是质数的概率．

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性别	是否喜欢篮球		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	450	150	600
女生	150	250	400
合计	600	400	1000

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828