吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷

试卷更新日期：2024-09-27 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合 $A = \{x ||2 x - 1| \leq 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 4 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $[0, 2]$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

查看试题解析
2. 已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + 3 \cos α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
4. 若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{3}{x} - x$ 既有极大值也有极小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2 \sqrt{3})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{3 e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{e^{x} - 3}{e^{x} - 1}$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- \infty, - \ln 3)$ D、 $\forall m \in R$ ， $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = m$

查看试题解析
6. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (1) = 0$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

查看试题解析
7. 已知 $3^{m} = 4$ ， $4^{m} - a = 4$ ， $2^{m} - b = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a = - b$

查看试题解析
8. 若关于 $x$ 不等式 $\ln (a x) \leq x + b$ 恒成立，则当 $\frac{1}{e} \leq a \leq e$ 时， $e^{b + 1} - \ln a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 1$ B、 $e - 1$ C、1 D、 $e$

查看试题解析

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若 $b > a > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{\log_{2} a + \log_{2} b}{2} < \log_{2} \frac{a + b}{2}$ D、 $2^{b - a} > {(b - a)}^{2}$

查看试题解析
10. 已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{9}$ C、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = - \frac{2}{3}$ D、若 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$

查看试题解析
11. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = - f (2 - x)$ ，当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (\frac{2027}{2}) = \frac{1}{2}$ C、函数 $y = f (x) - {(x - 1)}^{3}$ 的所有零点之和为5 D、 $f (e^{0.1} - 1) > f (\ln \frac{1}{1.1})$

查看试题解析

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知某扇形的圆心角为120°，弧长为 $2 πcm$ ，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{|x + 2|} - 1, x < 0 \\ \ln (x^{2} + a x + 3), x \geq 0 \end{cases}$ ， $f (f (- 3)) = 0$ ，则实数a的值为.

查看试题解析
14. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“局部奇函数”.若函数 $f (x) = 49^{x} - m \cdot 7^{x + 1} - 2$ 在定义域 $R$ 上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为单调递增等比数列， $b_{2} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \log_{2} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{x} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [- 1, 0]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值与最小值.

查看试题解析
17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本 $30 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} + \frac{34}{3}, 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{32 x}{x + 1} + x, 2 < x \leq 5. \end{matrix}$ ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a) - a \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $x_{2} e^{x_{2}} > 2 x_{1} e^{x_{1}}$ ，求a的取值范围.

查看试题解析
19. 对于数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $\exists M > 0$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，有 $|x_{n}| \leq M$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 是有界的.当正整数n无限大时，若 $x_{n}$ 无限接近于常数a，则称常数a是数列 $\{x_{n}\}$ 的极限，或称数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于a，记为 $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = a$ .单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.

(1)、证明：对任意的 $x \geq - 1$ ， $n \in N^{*}$ ， ${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x$ 恒成立；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式为： $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ， $b_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .
（i）判断数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数 $e = \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ，以 $e$ 为底的对数称为自然对数，记为 $\ln x$ .证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} < \ln (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ 恒成立.

查看试题解析