专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知 $\cos (α + β) = m, \tan α \tan β = 2$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- 3 m$ B、 $- \frac{m}{3}$ C、 $\frac{m}{3}$ D、 $3 m$

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2. 已知 $\frac{c o s α}{c o s α - s i n α} = \sqrt{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $2 \sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，且 $C = \frac{π}{5}$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{10}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{10}$ D、 $\frac{2 π}{5}$

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4. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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5. 若 $s i n (α + β) + c o s (α + β) = 2 \sqrt{2} c o s (α + \frac{π}{4}) s i n β$ ，则（）

A、 $t a n (α - β) = 1$ B、 $t a n (α + β) = 1$ C、 $t a n (α - β) = - 1$ D、 $t a n (α + β) = - 1$

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6. 已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第三象限角， $t a n α + t a n β = 4, t a n α t a n β = \sqrt{2} + 1$ ，则 $s i n (α + β) =$ ．

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7. 已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $s i n (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $t a n α - t a n β = 2$ ，则 $s i n α s i n β =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ ， $c o s^{2} α - s i n^{2} α = \frac{1}{7}$ ，且 $3 s i n β = s i n (2 α + β)$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9. 下列条件能确定唯一一个三角形 $A B C$ 的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 8$ ， $B C$ 边上中线长 $A D = 4 \sqrt{3}$ . B、 $S = b c c o s A$ ， $a = 4 = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) b c$ . C、 $t a n A + t a n B + t a n C - 2 \sqrt{3} t a n A t a n B c o s C = 0$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ . D、 $c = b c o s A, a = 2, S_{△ A B C} = 1$ .

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10. 如图，角 $α$ ， $β (0 < α < β < π)$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ， B两点，M为线段AB的中点．N为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、N点的坐标为 $(c o s \frac{β - α}{2}, s i n \frac{β - α}{2})$ B、 $| O M | = c o s \frac{β - α}{2}$ C、 $\frac{1}{2} (c o s α + c o s β) = c o s \frac{β + α}{2} c o s \frac{α - β}{2}$ D、若 $α + β$ 的终边与单位圆交于点C ，分别过A ， B ， C作x轴的垂线，垂足为R ， S ， T ，则 $| C T | < | A R | + | B S |$

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11. 在 $△ A B C$ 中，若 $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ ．

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12. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 135 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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13. 若 $\frac{1 + t a n （ θ - \frac{π}{4} ）}{1 - t a n （ θ - \frac{π}{4} ）} = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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14. 在 $△ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， D为 $A C$ 的中点，已知 $c = 2$ ， $B D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且 $a c o s B + b c o s A = - 2 c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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15. 已知 $α, β, γ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $s i n α + s i n γ = s i n β$ ， $c o s β + c o s γ = c o s α$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $c o s (α + γ) = \frac{1}{2}$ B、 $c o s (β + γ) = - \frac{1}{2}$ C、 $β - α = \frac{π}{3}$ D、 $β - α = - \frac{π}{3}$

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c = b (2 c o s A + 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、若 $a = \sqrt{3} b$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $\frac{1}{t a n B} - \frac{1}{t a n A}$ 的最小值为1

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17. $\frac{t a n 8 0^{∘} - t a n 2 0^{∘}}{1 + \frac{1}{2 c o s 2 0^{∘}}}$ 的值为.

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18. 已知 $s i n α + s i n β = a, c o s α + c o s β = b (a b \neq 0)$ ，则 $c o s (α - β) =$ ， $s i n (α + β) =$ .

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19. 已知 $θ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $32 t a n θ = 25 s i n 2 θ$ ，则 $c o s (θ - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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20. 若 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ 且 $c o s (α - β) = \frac{9}{13}$ ， $s i n α s i n β = \frac{2}{13}$ ，则 $s i n (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{120}{169}$ B、 $- \frac{119}{169}$ C、 $\frac{119}{169}$ D、 $\frac{120}{169}$

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21. 计算下列各式的值，其结果为2的有（）

A、 $t a n 15 ° + t a n 60 °$ B、 $\frac{1}{s i n 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{c o s 10 °}$ C、 $(1 + t a n 18 °) (1 + t a n 27 °)$ D、 $4 s i n 18 ° c o s 36 °$

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22. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), c o s (α + β) = \frac{5}{13}, s i n (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则（）

A、 $s i n (α + β) = \frac{12}{13}$ B、 $c o s (α - β) = - \frac{4}{5}$ C、 $s i n 2 α = \frac{63}{65}$ D、 $\frac{t a n α}{t a n β} = \frac{33}{7}$

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23. 已知 $c o s (20 ° - θ) + c o s (20 ° + θ) - c o s (40 ° - θ) = 0$ ，则 $t a n θ =$ .

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24. 已知 $t a n α = 3$ ， $t a n (α + β) = - 5$ ，则 $t a n (2 α + β) =$ .

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25. 若 $s i n (α - β) + c o s (α - β) = 2 \sqrt{2} s i n (α - \frac{π}{4}) s i n β$ ，则（）

A、 $t a n (α - β) = - 1$ B、 $t a n (α - β) = 1$ C、 $t a n (α + β) = - 1$ D、 $t a n (α + β) = 1$

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26. 已知 $s i n (β + \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $s i n (α - 2 β) c o s α - c o s (2 β - α) s i n α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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27. 已知 $s i n 2 α = - \frac{4}{5}$ ，则 $\frac{t a n 2 α}{t a n (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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28. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - θ) = 3 c o s (θ + \frac{π}{4})$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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29. 下列化简正确的是（）

A、 $c o s 82 ° s i n 52 ° + s i n 82 ° c o s 128 ° = - \frac{1}{2}$ B、 $s i n 15 ° s i n 30 ° s i n 75 ° = \frac{1}{8}$ C、 $c o s^{2} 15 ° - s i n^{2} 15 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 48 ° + t a n 72 °}{1 - t a n 48 ° t a n 72 °} = \sqrt{3}$

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30. 已知函数 $f (x) = t a n (ω x + \frac{π}{4}) + t a n (ω x - \frac{π}{4}) (0 < ω < 4), f (\frac{1}{8}) = 2, f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称，将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{1}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $ω = π$ C、 $g (x)$ 的最小正周期为1 D、 $(\frac{5}{6}, 0)$ 是函数 $g (x)$ 图像的一个对称中心

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31. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， - 1) ， \vec{n} = (c o s x ， c o s^{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有4个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递增 C、 $f (\frac{π}{8} + x) + f (\frac{π}{8} - x) = - 1$ D、直线 $x - y - 1 = 0$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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32. 已知 $c o s (α - β) = \frac{1}{2}, s i n α s i n β = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ .

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33. 已知 $θ \in (0, \frac{π}{2}), t a n (θ + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{3} t a n θ$ ，则 $t a n 2 θ =$ .

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34. 已知 $c o s (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $c o s (\frac{π}{2} - α) =$ .

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35. 在 $△ A B C$ 中， $c o s B = \frac{9}{16}, b = 5, \frac{a}{c} = \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $s i n A$ ；

(3)、求 $c o s (B - 2 A)$ .

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36. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} t a n A t a n C = t a n A + t a n C + \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A + c o s C$ 的取值范围.

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37. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．若 $\frac{a}{c o s A} + \frac{b}{c o s B} = \frac{3 c}{c o s C}$ ，则 $t a n A + t a n C$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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38. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + 2 s i n x c o s x$ ，则下列说法正确的是( )

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$ D、若 $f (\frac{1}{2} α - \frac{5 π}{24}) - \sqrt{3} = \frac{1}{2}$ ，其中 $α$ 为锐角，则 $s i n α - c o s α$ 的值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{30}}{8}$

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39. 已知 $t a n α$ ， $t a n β$ 是方程 $x^{2} + 5 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{c o s^{2} (α + β)}{s i n^{2} (α - β)} =$ ．

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40. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b + c - 2 a cos C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、射线 $A B$ 绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ}$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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41. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $a^{2} - b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a c = 0$ ，若 $c o s (A - C) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s (α + A) c o s (α + C)}{c o s^{2} α} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ 则 $t a n α$ 的值为( )

A、1 B、2 C、4 D、2或4

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42. 通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\begin{array}{l} \frac{坡屋面高度半径}{半坡宽度} = 0.57 \pm 0.3 \end{array}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\overset{⌢}{A C}$ 所对的圆心角 $θ = \frac{π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径为4， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则（）

A、 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ B、 $A C = 2 \sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为 $4 \sqrt{3}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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43. 如图，四边形 $A B C D$ 由 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 拼接而成，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A D C > 90 °$ ，若 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $A D = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $t a n ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，则 $△ C D E$ 的面积 $S =$ ．

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专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题