专题34 等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $\frac{15}{8}$ B、 $\frac{65}{8}$ C、15 D、40

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2. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = - 5$ ， $S_{6} = 21 S_{2}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $120$ B、 $85$ C、 $- 85$ D、 $- 120$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为168， $a_{2} - a_{5} = 42$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、14 B、12 C、6 D、3

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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5. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{2} a_{4} a_{5} = a_{3} a_{6}$ ， $a_{9} a_{10} = - 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n + 1} - 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前n项和.

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7. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $\frac{a_{6} + a_{9}}{a_{3} + a_{6}} =$ （）

A、4 B、8 C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知 $a = 5 + 2 \sqrt{6}$ ， $c = 5 - 2 \sqrt{6}$ ，若a ， b ， c三个数成等比数列，则 $b =$ （）

A、5 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或1

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9. 若 $α 、 β \in R (α β \neq 0)$ ， $α 、 β 、 α^{2}$ 成等差数列， $β 、 α^{2} 、 β^{2}$ 成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（）.

A、 $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

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10. 设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列； ${b_{n}}$ 是首项为 $b_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．已知数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - n + 2^{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $b_{1} = 1$ C、 $d + q = 4$ D、 $d = 1$

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11. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏．

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项是5，则首项 $a_{1} =$ .

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $\frac{3^{n}}{50}$ 的等差数列，求 $n$ ．

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14. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 4 n + 2$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 4}$ 为等比数列；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} + 4}$ ，若 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < \frac{13}{20}$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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15. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, S_{10} = 11 a_{5}, b_{3} - b_{2} = a_{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明 ${\frac{n}{a_{n} \cdot b_{n}}}$ 是等比数列．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} (a_{n} - 1)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，并证明 $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ ．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 7, a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} - 3, & n 为奇数 \\ 2 a_{n}, & n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{2 n - 1} - 6}$ 为等比数列；

(2)、若 $b_{n} = a_{2 n}$ ，求数列 ${n \cdot (b_{n} - 3)}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = 5 a_{n} - 2$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n} \cdot l o g_{5} \frac{a_{2 n + 2}}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} + S_{24} = 140$ ，且 $S_{24} = 13 S_{8}$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、40 B、-30 C、30 D、-30或40

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20. 设 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，若 ${a_{n}}$ 的公比 $q = \sqrt{2}, a_{4} a_{6} = 4$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、32 C、 $64 \sqrt{2}$ D、512

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21. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 1$ ， $a_{2023} a_{2024} > 0$ ， $\frac{a_{2024} - 1}{a_{2023} - 1} < 0$ ，若 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为单调递增数列 B、 $S_{2023} < S_{2024}$ C、 $T_{2023}$ 为 ${T_{n}}$ 的最大项 D、 ${T_{n}}$ 无最大项

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22. 已知 $n, m \in N^{*}$ ，将数列 ${4 n + 1}$ 与数列 ${5^{m}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = 5 n$ B、 $a_{n} = 5^{n}$ C、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $\frac{5 (5^{n} - 1)}{4}$ D、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{5 (2 5^{n} - 1)}{24}$

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23. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $4 S_{n} = 3 a_{n} + 3$ ，且 $60 \leq | S_{m} | \leq 200$ ，则 $m$ 的取值集合为．

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24. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + a_{4} = 7$ ， $a_{3} + a_{6} = 21$ ，则 $a_{7} + a_{10} =$ .

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25. 已知等比数列 ${a_{n}}, a_{2} ＝ 4, a_{10} ＝ 16,$ 则 $a_{6} =$ （　　）

A、8 B、±8 C、10 D、±10

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26. 记等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} a_{2} a_{3} = 27, a_{5} = 81$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、121 B、63 C、40 D、31

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27. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{3} a_{13} = 8$ ，则 $a_{4} a_{8} =$ （）．

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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28. 等比数列 ${a_{n}}$ 公比为 $q (q \neq 1)$ ， $a_{1} > 0$ ，若 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则“ $q > 1$ ”是“数列 ${T_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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29. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，满足 $a_{3} = 2 a_{1} + a_{2}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 ${a_{n}}$ 是正项数列，则 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 B、 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 一定是等比数列 C、若存在 $M > 0$ ，使 $| a_{n} | \leq M$ 对 $n \in N^{*}$ 都成立，则 ${| a_{n} |}$ 是等差数列 D、若存在 $M > 0$ ，使 $| a_{n} | \leq M$ 对 $n \in N^{*}$ 都成立，则 ${S_{n}}$ 是等差数列

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30. 已知实数数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）．

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{1} + a_{3} + a_{8} = 2 a_{6}$ 恒成立 B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $S_{3}$ ， $S_{6} - S_{3}$ ， $S_{9} - S_{6}$ ， …为等差数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 21$ ，则 $a_{4} = - \frac{7}{2}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{3}$ ， $S_{6} - S_{3}$ ， $S_{9} - S_{6}$ ， …为等比数列

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31. $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若存在 $a ， b ， c \in R$ ，使得 $S_{n} = a \cdot b^{n} + c$ ，则（）

A、 $a + c = 0$ B、 $b$ 是数列 ${a_{n}}$ 的公比 C、 $a c < 0$ D、 ${a_{n}}$ 可能为常数列

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32. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，首项 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{20} =$ .

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33. 若实数 $0, x, y, 6$ 成等差数列， $- \frac{1}{2}, a, b, c, - \frac{1}{8}$ 成等比数列，则 $\frac{y - x}{b}$ =.

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34. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2, a_{11} = 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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35. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = - 2$ ， ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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36. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均不为零， $S_{n}$ 为其前n项和，且 $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n} - 1$ .

(1)、证明： $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ；

(2)、若 $a_{1} = - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = a_{3}$ .求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前2022项和 $T_{2022}$ .

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37. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 2$ ， $a_{4} + a_{6} = 16$ ，则 $a_{10} + a_{12} =$ （）

A、26 B、32 C、512 D、1024

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38. 关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且其前 $n$ 项的和 $S_{n} = 2^{n - 1} + t$ ，则 $t = - \frac{1}{2}$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} a_{7} + a_{3} a_{6} = 6$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{8} = 81$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ ， …成等比数列 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $2 a_{1} + 3 a_{3} = S_{6}$ ，则 $S_{10}$ 最小

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39. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - 15 \times {(\frac{1}{2})}^{n} + t$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为．

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40. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > n - 1$ ．

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41. 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E ， F ， G ， H ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M ， N ， P ， Q ，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}, ⋯$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{n}, ⋯$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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42. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比为 $q$ ，若存在无穷多个不同的 $n$ ，满足 $a_{n + 2} \leq a_{n} \leq a_{n + 1}$ ，则下列选项之中，可能成立的有（）

A、 $q > 0$ B、 $q < 0$ C、 $| q | > 1$ D、 $| q | < 1$

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43. 定义：对于函数 $f (x)$ 和数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”.已知二次函数 $f (x)$ 图象的最低点为 $(0, - 4)$ ，且 $f (x + 1) = f (x) + 2 x + 1$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln (x_{n} + 2) - ln (x_{n} - 2)$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 $\{S_{n} \cdot (\frac{n}{2} - 5)\}$ 的最小值为.

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专题34 等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、单选题

五、多选题

六、填空题

七、解答题

八、单选题

九、多选题

十、填空题

十一、单选题

十二、多选题

十三、填空题

十四、解答题

十五、单选题

十六、多选题

十七、填空题

十八、解答题

十九、单选题

二十一、多选题

二十二、填空题