专题33 等差数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 1$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{9}$

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2. 已知b是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{5} = S_{10}$ ， $a_{5} = 1$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{7}{11}$

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2} + a_{6} = 10 ， a_{4} a_{8} = 45$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、25 B、22 C、20 D、15

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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6. （图1是中国古代建筑中的举架结构， $A A^{^{'}}, B B^{^{'}}, C C^{^{'}}, D D^{^{'}}$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 $D D_{1}, C C_{1}, B B_{1}, A A_{1}$ 是举， $O D_{1}, D C_{1}, C B_{1}, B A_{1}$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 $\frac{D D_{1}}{O D_{1}} = 0.5, \frac{C C_{1}}{D C_{1}} = k_{1}, \frac{B B_{1}}{C B_{1}} = k_{2}, \frac{A A_{1}}{B A_{1}} = k_{3}$ ．已知 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 成公差为0.1的等差数列，且直线 $O A$ 的斜率为0.725，则 $k_{3} =$ （）

A、0.75 B、0.8 C、0.85 D、0.9

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7. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ .

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8. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $2 S_{3} = 3 S_{2} + 6$ ，则公差 $d =$ ．

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公差不为0．若 $a_{2}, a_{4}, a_{5}$ 成等比数列，则公差为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、1 D、 $- 1$

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边a ， b ， c成等差数列，且 $a c = 20$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，则 $b =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{6}$ C、4 D、3

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11. 已知在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = - 5, a_{5}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2 n - 13$ B、 $\forall n \in N^{*}, b_{n} \geq - 1$ C、 $S_{n} = - \frac{1}{11} - \frac{1}{2 n - 11}$ D、 $\forall n \in N^{*}, S_{6} \leq S_{n} \leq S_{5}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前100项和为100 D、 ${| a_{n} - 5 |}$ 的前30项和为357

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13. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项是5，则首项 $a_{1} =$ .

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 5$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}, a_{1} = 13, a_{n + 1} = a_{n} - 4$ ．求：

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, 2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 通项公式．

(2)、设 $b_{n} = \frac{c o s (n + 1) π}{a_{n}} + 2$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ ，满足 $l o g_{2} a_{n}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{n}$ 的等差中项， $(n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积 $T_{n}$ 满足 $T_{n} = (\sqrt{2})^{n^{2} + n}$ ，记 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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18. 已知 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = 2 - \frac{p}{a_{n + 1}}$ （ $n \in N$ 且 $n \geq 1$ ， $p$ 为常数）.

(1)、数列 ${a_{n}}$ 能否是等比数列？若是，求 $a_{1}$ 的值（用 $p$ 表示）；否则，说明理由；

(2)、已知 $a_{1} = p = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - n^{2}}$ 是等差数列．

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n S_{n} + 1$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n} + 1}{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $b_{n} = 3^{s i n (\frac{π}{2} a_{n})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} - S_{3} = 35, a_{3} + a_{10} = 7$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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22. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{6} = 2$ ，且 $a_{7}, a_{5}, a_{9}$ 成等差数列，则 $a_{4} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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23. 关于等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ ，下列四个选项中正确的有（）

A、等差数列 ${a_{n}}$ ，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ B、等比数列 ${b_{n}}$ ，若 $a_{m} \cdot a_{n} = a_{p} \cdot a_{q}$ ，则 $m + n = p + q$ C、若 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前n项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，仍为等差数列 D、若 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 前n项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，仍为等比数列

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24. 设数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} - a_{n - 1} = - 4$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} = 14$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{n} = - 4 n + 14$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列 C、当 $n = 8$ 时 $S_{n}$ 有最大值 D、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，则当 $n = 2$ 或 $n = 4$ 时数列 ${b_{n}}$ 的前n项和取最大值

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25. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 3}{n - 1}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{4}} =$ ．

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26. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{11} = 55$ ，则 $a_{6} =$ ．

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27. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 4, S_{3} = 6$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、112 B、122 C、132 D、142

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28. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 9$ ， $S_{9} = 18$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、21 C、24 D、27

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29. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 2$ ， $S_{9} = 18$ ，则 $S_{5} =$ （）.

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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30. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n + 2} - a_{n + 1} (n \in N *)$ ．若 $a_{4} + a_{10} = 14$ ， $a_{2} \cdot a_{12} = 24$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2023项和为（）

A、2044242 B、2045253 C、2046264 D、2047276

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31. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = a_{1} a_{n}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{3} = 1$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{n} = a_{n + 4}$ C、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $a_{n} = n + 1$ D、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $S_{20} = 230$

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32. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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33. 已知首项为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $(S_{15} - S_{11}) (S_{15} - S_{12}) < 0$ ，则（）

A、 $a_{13} + a_{14} > 0$ B、 $S_{11} < S_{15} < S_{12}$ C、当 $n = 14$ 时， $S_{n}$ 取最大值 D、当 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最小值为27

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34. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 前6项的和为．

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35. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{2} + 4$ ， $a_{3} + 4$ ， $a_{4} - 2$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 公比为.

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36. 在公差大于零的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5}$ ， $\sqrt{7} a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，若 $a_{2} = 5$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ .

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37. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{8}$ ， $S_{7} = - 49$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{2}{a_{n} (2 n + 1)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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38. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} - n a_{n} = \frac{1}{2} n (n - 1)$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $a_{5}$ ， $a_{9}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最大值．

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39. 已知在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{4} = 16$ ，且 $a_{3}, 10, \frac{a_{6}}{2}$ 成等差数列，则 $a_{1} + a_{4} + a_{7} =$ （）

A、157 B、156 C、74 D、73

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40. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、若 $d < 0$ ，则 $S_{n}$ 有最大值 C、 $S_{n}$ ， $S_{2 n}$ ， $S_{3 n}$ 成等差数列 D、若 $S_{m} = S_{n}$ ， $m \neq n$ ，则 $S_{m + n} = 0$

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41. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2021 - 5 n$ ，则使 $S_{n} < 0$ 时的 $n$ 的最小值为 .

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42. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{5} = 12, S_{4} = 16$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}, T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $T_{n}$ 的值.

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43. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = 4 n^{2} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、414 B、406 C、403 D、393

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44. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列，若它的前 $2 m (m > 1)$ 项的和 $S_{2 m} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，使 $a_{n} > 0$ 的最大 $n$ 的值为 $m$ B、 $S_{m}$ 是 $S_{n}$ 的最小值 C、 $3 a_{m}^{2} + a_{m + 2}^{2} = a_{m - 1}^{2} + 3 a_{m + 1}^{2}$ D、 $a_{m - 1}^{2} + a_{m}^{2} = a_{m + 1}^{2} + a_{m + 2}^{2}$

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45. 随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．

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专题33 等差数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、解答题

七、单选题

八、多选题

九、填空题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、解答题

十四、单选题

十五、多选题

十六、填空题

十七、解答题

十八、单选题

十九、多选题

二十一、填空题