专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} {(a_{n} - 6)}^{3} + 6 (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M ≤ 0$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 B、当 $a_{1} = 5$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M \leq 6$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立 C、当 $a_{1} = 7$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M > 6$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 D、当 $a_{1} = 9$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{3} a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3$ C、 $3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4$

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4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1 + \frac{1}{α_{1}}$ ， $b_{2} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2}}}$ ， $b_{3} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2} + \frac{1}{α_{3}}}}$ ，…，依此类推，其中 $α_{k} \in N^{*} (k = 1 ， 2 ， \dots)$ ．则（）

A、 $b_{1} < b_{5}$ B、 $b_{3} < b_{8}$ C、 $b_{6} < b_{2}$ D、 $b_{4} < b_{7}$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1, S_{2} = a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} k, n = a_{k} \\ b_{n - 1} + 2 k, a_{k} < n < a_{k + 1} \end{array}$ ， $k \in N *, k \geq 2$ ．
（ⅰ）当 $k \geq 2, n = a_{k + 1}$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ⅱ）求 $\sum_{i = 1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n (n + 1)$ ，则 $a_{6}$ 等于（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 若数列 ${a_{n}} {b_{n}}$ 满足：对于任意正整数n ， $(a_{n} - b_{n}) (a_{n + 1} - b_{n + 1}) \leq 0$ ，则称 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 互为交错数列．记正项数列 ${x_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知1， $\sqrt{S_{n} + 1}$ ， $x_{n}$ 成等差数列，则与数列 ${x_{n}}$ 互为交错数列的是（）

A、 $a_{n} = n + s i n n π$ B、 $b_{n} = n + c o s n π$ C、 $c_{n} = 2 n + s i n n π$ D、 $d_{n} = 2 n + c o s n π$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前100项和为100 D、 ${| a_{n} - 5 |}$ 的前30项和为357

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{20} = 211$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{n} = 2^{n} - 1$ C、若 $S_{n} = 3^{n} + \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + … + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n + 1}{3}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} < k$ 的实数 $k$ 的最小值为．

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 2)}}$ 的前100项和 $T_{100} =$ ．

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12. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 $S_{n}$ 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 $S_{20} = 1540$ ，则 $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} =$ （）

A、2290 B、2540 C、2650 D、2870

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13. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = b_{n} + 2$ .若 $a_{1} = b_{1} = 3$ ，则 $a_{24} =$ （）

A、530 B、531 C、578 D、579

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14. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 $a_{n}$ ，黑心圈的个数为 $b_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 5$ B、 $b_{3} = 2$ C、数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 为等比数列 D、图②中第2023行的黑心圈的个数是 $\frac{3^{2022} - 1}{2}$

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15. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为零的可导函数，对任意的x ， $y \in R$ 均满足： $(x + y) \cdot f (x) f (y) = x y \cdot f (x + y)$ ， $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 8$ C、 $f^{'} (1) = 4$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2$

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16. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2024项和 $S_{2024} =$ ．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{5}{2} - \frac{1}{a_{n}}$ ，若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 2}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0, a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{2}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}, a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} + a_{n + 2}^{2} = 10$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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19. 正整数 $1, 2, 3, ⋯, n$ 的倒数的和 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}$ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 $n$ 很大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} \approx l n n + γ$ .其中 $γ$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $γ \approx 0.577215664901 ⋯$ ，至今为止都不确定 $γ$ 是有理数还是无理数.设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，用上式计算 $[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2024}]$ 的值为（）
（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 10 \approx 2.30$ ）

A、10 B、9 C、8 D、7

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n}$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n}$ ，若 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ 且 $b_{n} = \frac{1}{T_{n} T_{n + 1}}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $T_{12} = 12$ B、数列 ${a_{n}}$ 中的最大项为 $2$ C、 $S_{10} = \frac{10}{11}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{2}$

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + λ$ $(n \in N^{*})$ ，其中 $λ \in R$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $a_{1} = 2, λ = \frac{5}{4}$ 时， $a_{n} \geq n + 1$ B、当 $λ \in [\frac{1}{4}, + ∞)$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、当 $λ = - 2$ 时，若数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则 $a_{1} \in (- ∞, - 3) \cup (1, + ∞)$ D、当 $a_{1} = 3, λ = 0$ 时， $\frac{1}{a_{1} + 2} + \frac{1}{a_{2} + 2} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + 2} < \frac{1}{3}$

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22. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{2} = - 3$ .数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ .若 $\{b_{n}\}$ 是公差为1的等差数列，则 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} =$ ， $a_{n}$ 的最小值为.

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23. 定义：对于函数 $f (x)$ 和数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”.已知二次函数 $f (x)$ 图象的最低点为 $(0, - 4)$ ，且 $f (x + 1) = f (x) + 2 x + 1$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln (x_{n} + 2) - ln (x_{n} - 2)$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 $\{S_{n} \cdot (\frac{n}{2} - 5)\}$ 的最小值为.

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24. 已知首项为2的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $4 a_{n + 1} - 5 a_{n + 1} a_{n} - 2 a_{n} = 2$ ，当 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} \geq 16$ 时，则 $n$ 的最小值为（）

A、40 B、41 C、42 D、43

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25. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{1} = 5$ ， $S_{5} = 15$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 中（）

A、有最大项，无最小项 B、有最小项，无最大项 C、有最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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26. 设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{2} a_{4} = 4 a_{3} + 1$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）.

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- 3, + ∞)$

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27. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 1$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、43 B、46 C、37 D、36

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28. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} > 0, a_{2} = \frac{2}{21}$ ， $3 a_{n + 1} = 2 S_{n} S_{n + 1}$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{3}$ B、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是公差为 $\frac{2}{3}$ 的等差数列 C、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前5项和最大 D、 $a_{n} = \frac{6}{(2 n - 11) (2 n - 13)}$

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29. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{100} = 5050$ D、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$

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30. 已知数列 ${a_{n}}$ 对任意的整数 $n \geq 3$ ，都有 $n^{2} a_{n - 2} a_{n + 2} = (n^{2} - 4) a_{n}^{2}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $a_{2} = 2, a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} = 2$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $a_{2 n + 1} = 2 n + 1 (n \in N)$ C、数列 ${a_{n}}$ 可以是等差数列 D、数列 ${a_{n}}$ 可以是等比数列

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31. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + \frac{1}{2}$ ，且 ${a_{n}}$ 前8项和为761，则 $a_{1} =$ ．

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32. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 ${a_{n}}$ 是等和数列，且 $a_{1} = - 2$ ， $a_{2022} = 8$ ，则这个数列的前2022项的和为．

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33. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余的 $\frac{1}{6}$ ， 5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金 $x$ 斤，则 $x =$ 斤．

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34. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = 1 + \frac{1}{2 n - 9} (n \in N^{*}, a \in R, a \neq 0)$ ，它的最大项和最小项的值分别是等比数列 ${b_{n}}$ ${c_{n}}, c_{n} = b_{n} \cdot l o g_{3} (b_{n})$ 中的 $b_{2} - 1$ 和 $b_{3} - 9$ 的值.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $M_{n}$ .

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35. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1}^{n} = a_{n}^{n + 2} (a_{n} \neq 1)$ ， $a_{1} = 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ．求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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36. 据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾” $a$ 、“股” $b$ 与“弦” $c$ 之间的关系为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ （其中 $a \leq b$ ）．当 $a, b, c \in N^{*}$ 时，有如下勾股弦数组序列： $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)$ ， $(9, 40, 41), ⋯$ ，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（）

A、145 B、181 C、221 D、265

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37. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{n} + n, & n 为奇数 \\ a_{n} - 2 n, & n 为偶数 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 ${a_{2 n} - 2}$ 是等比数列 C、当n是偶数时， $a_{n} = 2 - {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2}}$ D、 $\exists m$ ， $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{2 m - 1} > a_{2 n}$

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38. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + … + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n + 1}{3}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} < k$ 的实数 $k$ 的最小值为．

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39. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， …．

(1)、写出一个递推公式，表示 $c_{n + 1}$ 与 $c_{n}$ 之间的关系；

(2)、求 $S_{10} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + ⋯ + c_{10}$ 的值．（其中 $1.0 8^{9} \approx 2.00$ ， $1.0 8^{10} \approx 2.16$ ， $1.0 8^{11} \approx 2.33$ ）

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40. 已知 $a_{n} = \sqrt{\frac{a_{n + 1} + 1}{2}}, a_{n} \in [- 1, 1]$ 且 $a_{1} = c o s \frac{π}{9}$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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41. 给定数列 ${a_{n}}$ ，定义差分运算： $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n}, n \in N^{*}$ .若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n^{2} + n$ ，数列 ${b_{n}}$ 的首项为1，且 $Δ b_{n} = (n + 2) \cdot 2^{n - 1}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ a_{n} < M$ 恒成立 B、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ^{2} a_{n} < M$ 恒成立 C、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} > M$ D、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{Δ^{2} b_{n}}{b_{n}} > M$

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42. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1}$ .若 $S_{n} > n^{2} + 61 n$ ，则 $n$ 的最小值为.

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专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、解答题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题