专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 设向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $x = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $x = - 1 + \sqrt{3}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件

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2. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ．则 $| \vec{b} | =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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4. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， 2)$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1, | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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9. 已知 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{b}$

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10. 已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $150 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 3$ C、3 D、9

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11. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ C、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{b} |$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (s i n θ, c o s θ)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (3, \sqrt{3})$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = - \sqrt{3}$ B、 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、存在 $θ$ ，使得 $\vec{a}$ 在 $\vec{c} - \vec{b}$ 方向上投影向量的模为1 D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围为 $[1, 3]$

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13. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D,$ $A D = 1, A B = 3, C D = 1,$ $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = \frac{3}{2}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $∠ B A D =$ ；若 $B D$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ ， $N$ 为线段 $A C$ 延长线上的动点，则 $\vec{N P} \cdot \vec{N B}$ 的最小值为．

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14. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为.

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为150°，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} | =$ （）

A、1 B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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17. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上的三个非零向量，那么（）

A、若 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量相同

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{6}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{7}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{5 π}{9}$

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19. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 6, | \vec{a} + k \vec{b} | = 3 \sqrt{7}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ ，则实数 $k$ 的值为．

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20. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3 ， \vec{a} - \vec{b} = (2, \sqrt{6})$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 4$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ，设点 $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 在 $B C$ 上，且 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} = 0$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、16 B、12 C、8 D、 $- 4$

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $M (\frac{a^{2}}{c}, m)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, n)$ ，若以 $M N$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (c, 0)$ ，且 $(\vec{O M} - \sqrt{2} \vec{O F}) \cdot (\vec{O M} + \sqrt{2} \vec{O F}) = \vec{O M} \cdot \vec{N M}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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23. 定义两个非零平面向量的一种新运算 $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cdot s i n 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ，其中 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 表示 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $| \vec{a} | s i n 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 \cdot \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ B、 $(\vec{a} * \vec{b})^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$ C、 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$ D、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$

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24. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积记为 $S$ ，若 $a = 4, A = 6 0^{∘}$ ，则（）

A、 $2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ B、 $△ A B C$ 的外接圆周长为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $S$ 的最大值为 $4 \sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $C M = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $S = 4 \sqrt{3}$

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25. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A + s i n B s i n C = 0$ ，则 $A =$ ；若 $b = 2$ ， $c = 1$ ， $\vec{B P} = t \vec{B C}$ ， $t \in [0, 1]$ ，则 ${\vec{P C}}^{2} - \vec{B C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是．

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26. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A ， B）， $D C ⊥ B C$ ， $D C = B C$ ， $| A B | = 2$ ， $| \vec{C A} - \vec{B C} | =$ ； $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的最大值为．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P在直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 上.若向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ，则 $\vec{O P}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ C、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- 1, - 2)$

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28. 若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}, (\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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29. 已知向量 $\vec{a} = (λ, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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30. 在 $R t △ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ， $c = 2$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 外接圆上一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最大值是（）

A、4 B、 $2 + \sqrt{10}$ C、3 D、 $1 + \sqrt{10}$

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31. 已知直线 $l$ ： $m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 有两个不同的公共点 $A$ ， $B$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ C、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ D、当 $r = 4$ 时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 有最小值为 $- 16$

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32. 下列说法正确的有（）

A、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、若复数 $z$ 满足 $z + \frac{1}{z} = - 1$ ，则 $z^{2024} + \frac{1}{z^{2024}} = - 1$

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33. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (6, - 2)$ ，则（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{65}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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34. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $C B = C D = 2 \sqrt{3}$ .若 $M$ 为线段 $B C$ 中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{D M} =$ ；若 $N$ 为线段 $B C$ （含端点）上的动点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为.

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35. 已知平面向量 $\vec{a} = (5, 1), \vec{b} = (1, - 1), \vec{c} = (1, k)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $k =$ ．

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36. 已知 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (t, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为.

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37. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边， $D$ 为边 $B C$ 上一点．

(1)、试利用“ $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ”证明：“ $c c o s B + b c o s C = a$ ”；

(2)、若 $A = \frac{π}{4}, B D = 3, C D = 2, A D ⊥ B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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38. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，设向量 $\vec{m} = (2 s i n A, \sqrt{3} s i n A + \sqrt{3} c o s A)$ ， $\vec{n} = (c o s A, c o s A - s i n A)$ ， $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ， $A \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ .

(1)、求函数 $f (A)$ 的最大值；

(2)、若 $f (A) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $s i n B + s i n C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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39. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 外心，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $∠ A B C$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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40. 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 2, 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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41. 已知向量 $\vec{u} = (s i n x, s i n^{2} (x + \frac{π}{4})), \vec{v} = (\sqrt{3} s i n x, 1)$ ，函数 $f (x) = 2 \vec{u} \cdot \vec{v} - \sqrt{3}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 内有且只有一个零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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42. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，点D为边 $B C$ 上一点，且满足 $(\vec{A D} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ．

(1)、证明： $A D = b$ ；

(2)、若 $A D$ 为内角A的平分线，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，求 $s i n A$ ．

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43. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $M$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = 8$ ， $N$ 是直线 $O M$ 上异于 $M$ 、 $O$ 的任意一点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、6 C、7 D、9

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44. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $2 \sqrt{3} c c o s^{2} \frac{A + C}{2} = b s i n C$ ，且边 $A C$ 上的中线 $B D$ 长为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $b$ 的取值范围为 $[2, 2 \sqrt{3})$ C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $3 \sqrt{6}$

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45. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上，满足 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，则向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{A D}$ 上的投影向量为（请用 $\vec{A D}$ 表示）；若 $A B = 3$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 上的动点，满足 $B M + B N = 1$ ，则 $\vec{E M} \cdot \vec{E N}$ 的最小值为．

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专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题