专题26 正弦定理和余弦定理-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $P C = P D = 3, ∠ P C A = 45 °$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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2. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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4. 双曲线C的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 $F_{1}$ 作D的切线与C交于M，N两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °, A B = 2, B C = \sqrt{6}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D ，则 $A D =$ ．

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6. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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7. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $s i n A + \sqrt{3} c o s A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2, \sqrt{2} b s i n C = c s i n 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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8. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C = \sqrt{2} \cos B$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2} a b$

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求c．

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9. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 | x - a | - a$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积为2，求 $a$ ．

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10. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A B C$ ；

(2)、若D为BC上一点，且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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11. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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12. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D = 1$ ．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，求 $t a n B$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求 $b, c$ ．

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13. 记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，分别以a ， b ， c为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, s i n B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求b ．

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14. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，下列命题正确的是（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、若 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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17. 已知 $| A B | = 4$ ， $M$ 为 $A B$ 上一点，且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ . 动点 $C$ 满足 $| A C | = 2 | C M |$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，满足 $| C D | = | D M |$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $C M ⊥ A B$ ，则 $D$ 为线段BC的中点 B、当 $A C = 3$ 时， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、点 $D$ 到 $A, B$ 的距离之和的最大值为5 D、 $∠ M C B$ 的正切值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a s i n B = b (2 + c o s A)$ ，若 $△ A B C$ 的面积等于 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最小值为．

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19. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， $B C = C D$ ，存在点A满足 $∠ B A C = 16.5 °, ∠ D A C = 37 °$ ，则 $∠ B C A =$ (精确到0.1度)

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $c c o s B + 2 a c o s A + b c o s C = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = 2 b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a s i n^{2} \frac{B}{2} + b s i n^{2} \frac{A}{2} = \frac{3 a b}{2 (a + b + c)}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围．

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22. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 若满足 $2 a \cos B = c$ ，则该三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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23. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 2 C$ ， $b = \sqrt{2} a$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为直角三角形 B、 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、 $△ A B C$ 的形状无法确定

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24. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2}{\sqrt{3}} a \cdot \sin^{2} \frac{A + C}{2} = b \cdot \sin A$ ，下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $a = 4 ， b = 5$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、当 $a - c = \frac{\sqrt{3}}{3} b$ 时， $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\cos A + \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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25. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，则下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $a > b$ ，则 $c o s A > c o s B$ C、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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26. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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27. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为．

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28. 记的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{2}{3} π, b = 6, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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29. 等边 $△ A B C$ 的边长为5，点 $A$ 在平面 $α$ 上，点 $B, C$ 在 $α$ 的同一侧，且边 $A B, A C$ 在 $α$ 上的射影长分别为3，4，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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30. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 8$ ，边 $A B, A C$ 在平面 $α$ 上的射影长分别为 $3, 4$ ，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长可能为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{13}$

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31. 已知锐角 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $A$ 的取值范围为 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ C、若 $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为2 D、若 $a = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的取值范围为 $(\frac{3 \sqrt{3}}{8}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

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32. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且满足 $a = - 3 b c o s C$ ，则tanA的最大值为.

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33. 在 $△ A B C$ 中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{s i n B + s i n C}$ 的值为．

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34. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s (B + \frac{π}{6}) = b s i n A$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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35. 已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘} ，$ $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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36. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 9, b = 8, c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{225}{11} π$ B、 $\frac{125}{11} π$ C、 $\frac{123}{6} π$ D、 $\frac{113}{6} π$

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37. 已知 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，若 $b c o s C + c c o s B = b$ ，且 $a = c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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38. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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39. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b = 1 ， a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c ， s i n^{2} B = 3 s i n A s i n C$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $a c = \frac{1}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$

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40. 若 $△ A B C$ 的三个内角为 $A, B, C$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $s i n A, s i n B, s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $s i n 2 A, s i n 2 B, s i n 2 C$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A, s i n^{2} B, s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A}, \sqrt{s i n B}, \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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41. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $3 b c o s B = a c o s C + c c o s A$ ，且 $3 b = 4 c$ ，则 $C =$ .

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42. $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 a s i n B$ ， $b c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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43. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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44. 设三角形 $A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 且 $s i n (B + C) = 2 \sqrt{3} s i n^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $B C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$ ，求三角形 $A B C$ 的周长．

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45. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c - b = 2 c {sin}^{2} \frac{A}{2}$

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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46. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{t a n B}{t a n C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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47. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $s i n A = s i n B$ ，且 $\sqrt{3} (a c o s B + b c o s A) = 2 c s i n C$ ， D是 $△ A B C$ 外一点且B、D在直线AC异侧， $D C = 2$ ， $D A = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $A C = 2 \sqrt{13}$ ，则A ， B ， C ， D四点共圆 C、四边形ABCD面积的最小值为 $10 \sqrt{3} - 12$ D、四边形ABCD面积的最大值为 $10 \sqrt{3} + 12$

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48. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{6} c o s B = (3 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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49. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(sin A - \sqrt{3} sin B) a = (c - b) (sin C + sin B)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若边 $c = 2$ ，边 $A B$ 的中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 长的最大值.

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50. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 ° ， B C = 2 A C$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B D C = 120 °$ ，则 $\tan ∠ A C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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51. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R ， A ， B ， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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52. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = b c (1 - c o s A)$ ，则 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的取值范围为．

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专题26 正弦定理和余弦定理-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

五、多选题

六、填空题

七、解答题

八、单选题

九、多选题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、单选题

十四、多选题

十五、填空题

十六、解答题

十七、单选题

十八、多选题

十九、填空题

二十一、解答题

二十二、单选题

二十三、多选题

二十四、填空题