专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 当 $x \in [0,2 π]$ 时，曲线 $y = s i n x$ 与 $y = 2 s i n (3 x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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2. 设函数 $f (x) = a (x + 1)^{2} - 1$ ， $g (x) = c o s x + 2 a x$ ，当 $x \in (- 1, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有一个交点，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 函数 $y = f (x)$ 的图象由函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ), (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条相邻对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{5}{3} ， \frac{19}{6})$ C、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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7. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) c o s x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对于函数 $f (x) = s i n 2 x$ 和 $g (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最大值 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小正周期 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有相同的对称轴

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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10. 函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x$ 在[0，π]上的最大值是．

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11. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ ，如图A ， B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f (π) =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = | s i n (2 x + \frac{π}{3}) | - | s i n (2 x - \frac{π}{3}) |$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内的零点个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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14. 关于函数 $f (x) = | c o s x | + c o s | 2 x |$ 有下列四个结论：
① $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 2]$ ；
② $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减；
③ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 于对称；
④ $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．
上述结论中，正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{3}), ω > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{ω} (k π + \frac{π}{6}) (k \in Z)$ 对称 C、不等式 $f (x) > \frac{3}{2}$ 的解集为 $(\frac{2 k π}{ω}, \frac{(6 k + 1) π}{3 ω}) (k \in Z)$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{3}]$

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16. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为 $f (x) = c o t x$ ，其中 $c o t x = t a n (\frac{π}{2} - x)$ ，则下列关于余切函数的说法正确的是（）

A、定义域为 ${x ∣ x \neq k π, k \in Z}$ B、在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增 C、与正切函数有相同的对称中心 D、将函数 $y = - t a n x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位可得到函数 $y = c o t x$ 的图象

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17. 函数 $f (x) = c o s 2 x + \sqrt{3} c o s x - 1 (x \in [- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}])$ 的值域是.

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\frac{a^{2} - b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a b}$ ，若 $C = \frac{π}{4}$ ，则 $A =$ ；若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{a}{b c o s^{2} B}$ 的取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - φ)$ ，则“ $φ = \frac{π}{2} + k π$ ， $k \in Z$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $y = \frac{e^{x} - x^{2}}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{c o s x + x^{2}}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{e^{x} - x}{x + 1}$ D、 $y = \frac{s i n x + 4 x}{e^{| x |}}$

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21. 已知函数 $f (x) = x \cdot t a n x$ ， $g (x) = l n (e^{2 x} + 1) - x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 0$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $g (x)$ 不是对称图形 C、 $f (x)$ 的图象关于原点对称， $g (x)$ 的图象关于点 $(0, - 1)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于原点对称， $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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22. 已知函数 $f (x) = sin (x + 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 C、若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $f (2 x_{0}) = 2$ D、将 $f (x)$ 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数 $y = sin x$ 的图象

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23. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4}) + 2 \sqrt{3} c o s^{2} (x + \frac{π}{8})$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{5 π}{24}, \sqrt{3})$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{11 π}{24}$ 个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数

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24. 已知函数 $f (x) = A t a n (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $s i n φ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增 D、方程 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4}) (0 \leq x \leq π)$ 的解为 $\frac{3 π}{8}$ ， $\frac{7 π}{8}$

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25. 已知 $x = \frac{1}{12}$ 是函数 $f (x) = s i n (3 π x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴， $f (x)$ 在区间 $(- t, t) (t > 0)$ 内恰好存在3个对称中心，则 $t$ 的取值范围为．

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26. 已知函数 $y = 2 c o s (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上有且仅有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为．

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27. 已知函数 $f (x) = 3 t a n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ ．

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28. 将函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ B、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、直线 $x = \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴

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29. 设 $a = s i n \frac{5}{2}$ ，则（）

A、 $2^{a} < a^{2} < l o g_{\frac{1}{2}} a$ B、 $l o g_{\frac{1}{2}} a < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < l o g_{\frac{1}{2}} a < 2^{a}$ D、 $l o g_{\frac{1}{2}} a < a^{2} < 2^{a}$

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30. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0, 0 < x < π)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (x)$ 单调递减，则 $ω \geq 1$ B、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，则 $ω > 1$ C、若 $f (x)$ 仅有两个零点，则 $\frac{5}{2} < ω \leq \frac{7}{2}$ D、若 $f (x)$ 仅有两个极值点，则 $2 < ω \leq 3$

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31. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(k π + \frac{π}{12}, k π + \frac{7 π}{12}), k \in Z$ C、 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、满足条件 $(f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数 $x$ 为2

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32. 若函数 $y = t a n 3 x$ 在区间 $(m, \frac{π}{6})$ 上是严格增函数，则实数 $m$ 的取值范围为.

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33. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， S为 $△ A B C$ 的面积，且 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，则 $\frac{b^{2} + c^{2}}{b c}$ 的取值范围为.

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34. 设复数 $z = s i n (θ + \frac{π}{4}) + 2 i$ 是纯虚数，则 $θ$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{2023 π}{4}$ D、 $\frac{2025 π}{4}$

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35. 函数 $f (x) = \frac{x c o s 2 x}{l n (x^{2} + 1)}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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36. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则“ $α = β$ ”是“ $t a n α = t a n β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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37. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，关于该函数有下列四个说法：
⑴函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称
⑵函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称
⑶函数 $f (x)$ 在区间 $(- π, π)$ 内有4个零点
⑷函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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38. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的周期为 $π$ B、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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39. 关于函数 $f (x) = | t a n x |$ 的性质，下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(k π, k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ 上单调递增

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40. 若 $θ \in (0, π)$ ，且 $s i n θ = - 2 c o s θ$ ，则（）

A、 $t a n (π - θ) = 2$ B、 $c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $f (x) = s i n (x + θ)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、当 $g (x) = c o s θ c o s x + s i n θ s i n x$ 取得最大值时， $s i n x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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41. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于原点对称.若 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，则 $c o s β$ 的最大值为．

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42. 函数 $y = t a n (3 x - \frac{π}{4})$ 的定义域是．

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43. 函数 $y = c o s^{4} x - c o s^{2} x$ 的最小正周期为．

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44. 已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若 $x \in [0, \frac{5 π}{6}]$ ，方程 $f (x) - m = 0$ 有两个实数解，求实数m的取值范围．

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45. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ， $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 上单调．

(1)、从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 $f (x)$ 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (0, \frac{1}{2})$ ；
条件②： $(\frac{π}{3}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心；
条件③： $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、根据（1）中确定的 $f (x)$ ，求函数 $y = f (x) (x \in [0, \frac{π}{2}])$ 的值域．

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46. 已知函数 $f (x) = sin 3 (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、0 D、 $\frac{3}{2}$

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47. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $2 π$ B、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $(\frac{5 π}{12}, 1)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调

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48. 已知函数 $f (x) = s i n ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若将方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的所有非负解从小到大排成一个等差数列 ${a_{n}} (n \geq 1)$ ，其公差为 $3 ω π$ ，则 $a_{10}$ 的值为.

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49. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) - m = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 上有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $g (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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50. 如图，将边长为1的正 $△ A B C$ 以边 $A B$ 为轴逆时针翻转 $θ$ 弧度得到 $△ A B C^{'}$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，构成一个三棱锥 $C^{'} - A B C$ ．若该三棱锥的外接球半径不超过 $\frac{\sqrt{13}}{6}$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{π}{4}]$ C、 $(0, \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

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51. 已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，
函数 $\begin{matrix} f (x) = s g n (x - \frac{π}{2}) + s i n 2 x, g (x) = 2^{x} - 2^{π - x}, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $s g n (x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集为 $(\frac{π}{2}, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 D、方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实根之和为 $2 π$

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52. 已知实数 $a$ 满足：① $a \in [0, 2 π)$ ；②存在实数 $b, c (a < b < c < 2 π)$ ，使得 $a$ ， $b$ ， $c$ 是等差数列， $c o s b$ ， $c o s a$ ， $c o s c$ 也是等差数列.则实数 $a$ 的取值范围是.

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专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、单选题

五、多选题

六、填空题

七、单选题

八、多选题

九、填空题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、单选题

十四、多选题

十五、填空题

十六、解答题

十七、单选题

十八、多选题

十九、填空题

二十一、解答题

二十二、单选题

二十三、多选题

二十四、填空题