专题23 简单的三角恒等变换-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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2. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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3. 若 $\tan θ = - 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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4. 设函数 $f (x) = s i n ω x c o s φ + c o s ω x s i n φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在，求 $ω ， φ$ 的值．
条件①： $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ ；

条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ ；

条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A$ 为钝角， $a = 7$ ， $\sin 2 B = \frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\cos B = \frac{13}{14}$ ；条件③： $c \sin A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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6. 设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x \cos 2 x + \cos^{2} 2 x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{24}, \frac{1}{2})$ 对称 C、若 $f (x + t)$ 是偶函数，则 $t = \frac{π}{12} + \frac{k π}{4}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[0, 1]$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} s i n x c o s (x + \frac{π}{4})$ ，给出的下列四个选项中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]$ 上是减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，再向下平移1个单位得到

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9. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + c o s (2 x + \frac{2 π}{3}),$ 则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 B、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有2个零点 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 上单调递增

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10. 已知 $g (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{12}) c o s (ω x + \frac{π}{12}) (ω > 0)$ ，下面结论正确的是（）

A、 $ω = 1$ 时， $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 B、若 $g (x_{1}) = 1, g (x_{2}) = - 1$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ ，则 $ω = 1$ C、若 $g (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰有7个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{41}{24}, \frac{47}{24})$ D、存在 $ω \in (1, 3)$ ，使得 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称

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11. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $3 b c o s B = a c o s C + c c o s A$ ，且 $3 b = 4 c$ ，则 $C =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0, π)$ 上只有一个零点和两个最大值点，则 $ω$ 的取值范围是．

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13. 式子 $\frac{2 s i n 1 8^{∘} (3 c o s^{2} 9^{∘} - s i n^{2} 9^{∘} - 1)}{c o s 6^{∘} + \sqrt{3} s i n 6^{∘}}$ 化简的结果为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $2 s i n 9^{∘}$ D、 $2$

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14. 若 $λ s i n 16 0^{∘} + t a n 2 0^{∘} = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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15. 若 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，且 $c o s α c o s β = \frac{1}{2}$ ， $t a n α t a n β = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $c o s (α + β) = \frac{5}{6}$ B、 $s i n (α - β) = - \frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $c o s 2 α = \frac{5}{36}$ D、 $β < \frac{π}{3}$

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16. 下列命题中是真命题的有（）

A、存在 $α$ ， $β$ ，使 $t a n (α - β) = t a n α - t a n β$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $s i n A > s i n B$ ”的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，若 $c o s A = \frac{5}{13}$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ 则 $c o s C$ 的值为 $\frac{33}{65}$ 或 $\frac{63}{65}$

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17. 已知 $α$ 为锐角，且 $s i n α + s i n (α + \frac{π}{3}) + s i n (α + \frac{2 π}{3}) = \sqrt{3}$ ，则 $t a n α =$ .

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18. 已知 $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ ， $4 \sqrt{3} s i n \frac{π}{15} s i n (α - \frac{π}{3}) + 4 s i n \frac{π}{15} c o s (\frac{π}{3} - α) + t a n \frac{π}{15} = \sqrt{3}$ ，则 $α =$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题 $p ： \frac{1 - t a n^{2} \frac{A}{2}}{1 + t a n^{2} \frac{A}{2}} + \frac{b c o s (A + C)}{a} = 0$ ，命题 $q ： △ A B C$ 为等腰三角形．则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20. △ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知bcosC+ccosB＝6，c＝3，B＝2C ，则cosC的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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21. 已知对任意角 $α$ ， $β$ 均有公式 $s i n 2 α + s i n 2 β = 2 s i n (α + β) c o s (α - β)$ .设△ABC的内角A ， B ， C满足 $s i n 2 A + s i n (A - B + C) = s i n (C - A - B) + \frac{1}{2}$ .面积S满足 $1 \leq S \leq 2$ .记a ， b ， c分别为A ， B ， C所对的边，则下列式子一定成立的是( )

A、 $s i n A s i n B s i n C = \frac{1}{4}$ B、 $2 \leq \frac{a}{s i n A} \leq 2 \sqrt{2}$ C、 $8 ≤ a b c ≤ 16 \sqrt{2}$ D、 $b c (b + c) > 8$

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22. 对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若sin²A＋sin²B＜sin²C ，则三角形ABC是钝角三角形 B、若A＞B ，则sin A＞sin B C、若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个 D、若三角形ABC为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$

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23. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D，E分别在线段 $B C ， A B$ 上， $A C = B C = 3 B D = 3$ ， $∠ E D C = 60 °$ °，则 $D E =$ ， $△ B C E$ 的面积等于．

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24. 锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，有 $c o s^{2} A + c o s A c o s (C - B) = s i n B s i n C$ ，且 $c = 4$ ，则 $a + b$ 的取值范围为.

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25. 函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x - \frac{π}{2}) + c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2}, k \in Z$ B、 $x = \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}, k \in Z$ C、 $x = \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2}, k \in Z$ D、 $x = \frac{7 π}{12} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

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26. 设 $a = s i n^{2} \frac{π}{6} - s i n^{2} \frac{π}{12}$ ， $b = t a n \frac{π}{12}$ ， $c = s i n \frac{π}{8}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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27. 已知 $α \in (0, \frac{π}{3})$ ，且 $2 s i n 2 α = 4 c o s α - 3 c o s^{3} α$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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28. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $c o s (α - β) = \frac{5}{6}$ ， $t a n α \cdot t a n β = \frac{1}{4}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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29. 关于函数 $f (x) = 2 s i n x \cdot c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x$ ，下列说法正确的是( )

A、最小正周期为 $2 π$ B、关于点 $(- \frac{π}{6}, \sqrt{3})$ 中心对称 C、最大值为 $\sqrt{3} + 2$ D、在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递减

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30. 若 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，且 $c o s α c o s β = \frac{1}{2}$ ， $t a n α t a n β = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $c o s (α + β) = \frac{5}{6}$ B、 $s i n (α - β) = - \frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $c o s 2 α = \frac{5}{36}$ D、 $β < \frac{π}{3}$

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31. 设函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + 2 c o s^{2} ω x + m (ω > 0)$ ，且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 2$ ，则（）

A、 $ω = 1$ ， $m = 3$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象关于 $y$ 轴对称 D、当 $x = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值

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32. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，若 $s i n (B + A) - s i n 2 A = s i n (A - B)$ ，则 $△ A B C$ 的形状是.

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33. 已知 $c o s (α + 2 β) = \frac{5}{6}, t a n (α + β) t a n β = - 4$ ，写出符合条件的一个角 $α$ 的值为.

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34. 已知 $t a n α = 2 t a n β$ ， $s i n (α + β) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (β - α) =$ ．

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35. 设三角形 $A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 且 $s i n (B + C) = 2 \sqrt{3} s i n^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $B C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$ ，求三角形 $A B C$ 的周长．

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36. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 s i n C = s i n B + c o s B t a n A$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c} = \frac{2 \sqrt{3} s i n B}{3 s i n C}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径R．

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37. 设锐角 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c = 2, B = 2 C$ ，则 $a + b$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 10)$ B、 $(2 + 2 \sqrt{2}, 10)$ C、 $(2 + 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{3})$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}, 10)$

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38. 下列代数式的值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）

A、 $c o s^{2} 7 5^{∘} - s i n^{2} 7 5^{∘}$ B、 $\frac{t a n 1 5^{∘}}{1 + t a n^{2} 1 5^{∘}}$ C、 $c o s 3 6^{∘} c o s 7 2^{∘}$ D、 $2 c o s 2 0^{∘} c o s 4 0^{∘} c o s 8 0^{∘}$

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39. 已知 $c o s (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则 $s i n 6 α =$ ．

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40. 在① $s i n B = \sqrt{3} s i n A$ ；② $b c o s C + c c o s B = 2 c o s B$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $s i n A + s i n (B - A) = s i n C$ ， $b = \sqrt{3}$ ， ____.

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

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41. 若函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) - c o s ω x (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 内恰好存在8个 $x_{0}$ ，使得 $| f (x_{0}) | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{19}{6}, \frac{7}{2})$ B、 $(\frac{19}{6}, \frac{7}{2}]$ C、 $[\frac{7}{2}, \frac{25}{6})$ D、 $(\frac{7}{2}, \frac{25}{6}]$

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42. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x - \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小值是 $- \sqrt{3}$ B、若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递减 C、若 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{7}{2}, 5)$ D、函数 $y = \frac{f (x)}{3 - f (x)}$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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43. 已知函数 $f (x) = x - 6 s i n x$ ，等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (a_{i})$ .

(1)、求证： $f (x)$ 的图象关于点 $(π, π)$ 中心对称；

(2)、若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 是某三角形的三个内角，求 $T_{3}$ 的取值范围；

(3)、若 $S_{100} = 100 π$ ，求证： $T_{100} = 100 π$ .反之是否成立?并请说明理由

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专题23 简单的三角恒等变换-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、解答题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、解答题