专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 设甲： $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ，乙： $s i n α + c o s β = 0$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ ．

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5. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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6. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

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7. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), c o s (α + \frac{π}{3}) = - \frac{5}{13}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{12 + 5 \sqrt{3}}{26}$ B、 $\frac{12 - 5 \sqrt{3}}{26}$ C、 $\frac{12 \sqrt{3} + 5}{26}$ D、 $\frac{12 \sqrt{3} - 5}{26}$

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \sqrt{3} c o s 2 α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (1, - 2)$ ，则（）

A、 $\frac{s i n α - c o s α}{2 s i n α + c o s α} = - 1$ B、 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α = 2$ C、 $c o s 2 α = \frac{3}{5}$ D、 $t a n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$

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10. 一般地，任意给定一个角 $α \in R$ ，它的终边 $O P$ 与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角 $α$ 的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作 $α$ 的正弦函数，记作 $s i n α$ ，即 $y = s i n α$ ；
②把点P的横坐标x叫作 $α$ 的余弦函数，记作 $c o s α$ ，即 $x = c o s α$ ；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作 $α$ 的余割，记作 $c s c α$ ，即 $\frac{1}{y} = c s c α$ ；
④把点P的横坐标x的倒数叫作 $α$ 的正割，记作 $s e c α$ ，即 $\frac{1}{x} = s e c α$ .
下列结论正确的有（）

A、 $s e c \frac{5 π}{4} = - \sqrt{2}$ B、 $c o s α \cdot s e c α = 1$ C、函数 $f (x) = s e c x$ 的定义域为 ${x | x \neq k π, k \in Z}$ D、 $s e c^{2} α + s i n^{2} α + c s c^{2} α + c o s^{2} α \geq 5$

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11. 设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $y = \sqrt{s i n x} + \sqrt{c o s x}$ 的最大值为．

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12. 已知 $\frac{1 + t a n α}{1 - t a n α} = \sqrt{3}$ ，则 $s i n^{4} α + c o s^{4} α =$ .

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13. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{c o s 2 θ}{t a n (θ + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{15}{7}$ D、 $\frac{15}{8}$

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14. 若 $\sin (\frac{5 π}{12} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有2个零点 D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于原点对称

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16. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $M (a, b)$ ， $| O M | = m (m \neq 0)$ ，定义 $f (θ) = \frac{b + a}{m}$ ， $g (θ) = \frac{b - a}{m}$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) + g (\frac{π}{6}) = 1$ B、 $f (θ) + f^{2} (θ) \geq 0$ C、若 $\frac{f (θ)}{g (θ)} = 2$ ，则 $s i n 2 θ = \frac{3}{5}$ D、 $f (θ) g (θ)$ 是周期函数

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17. 已知 $c o s (α + 76 5^{∘}) = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s α - s i n α =$ .

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18. 正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以 $A, B, C, D, E$ 为顶点的多边形为正边边形，设 $∠ C A D = α$ ，则 $c o s α + c o s 2 α + c o s 3 α + c o s 4 α =$ ， $c o s α c o s 2 α c o s 3 α c o s 4 α =$ ．

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19. $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{1}{4}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，则 $B C$ 边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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20. 设 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $s i n α = s i n β$ ”是“ $α + β = (2 k + 1) π$ ， $k ∈ Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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21. 若 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，且 $c o s α c o s β = \frac{1}{2}, t a n α t a n β = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $c o s (α + β) = \frac{1}{6}$ B、 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $c o s 2 α = \frac{5}{36}$ D、 $β > \frac{π}{4}$

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22. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， $P (- 3, 4)$ 为其终边上一点，若角 $β$ 的终边与角 $2 α$ 的终边关于直线 $y = - x$ 对称，则( )

A、 $c o s (π + α) = \frac{3}{5}$ B、 $β = 2 k π + \frac{π}{2} + 2 α (k \in Z)$ C、 $t a n β = \frac{7}{24}$ D、角 $β$ 的终边在第一象限

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23. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $s i n α - s i n β = - \frac{1}{2}$ ， $c o s α - c o s β = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n α + t a n β =$ ．

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24. 已知函数 $f (x)$ 满足： $f (t a n x) = \frac{1}{c o s 2 x}$ ，则 $f (2) + f (3) + ⋯ + f (2024) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + ⋯ + f (\frac{1}{2024}) =$ ．

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25. 若 $- \frac{π}{4} < α < β < \frac{π}{4}$ ，且 $c o s α s i n β = \frac{1}{2}$ ， $\frac{t a n α}{t a n β} = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (α - β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{35}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{35}}{6}$

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26. 若角 $α$ 的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（）

A、 $s i n (π + α)$ B、 $c o s (π - α)$ C、 $c o s (\frac{π}{2} + α)$ D、 $s i n (\frac{π}{2} - α)$

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27. 已知 $\frac{c o s θ - s i n θ}{c o s 2 θ} = \sqrt{3}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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28. 已知函数 $f (x) = x - c o s x$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = π$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $π - 1$ B、 $π + 1$ C、 $π$ D、 $0$

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29. 为了得到函数 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度

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30. 计算下列各式的值，其结果为2的有（）

A、 $t a n 15 ° + t a n 60 °$ B、 $\frac{1}{2} (\frac{1}{c o s 80 °} - \frac{\sqrt{3}}{s i n 80 °})$ C、 $(1 + t a n 18 °) (1 + t a n 27 °)$ D、 $4 s i n 18 ° s i n 54 °$

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31. 若 $θ \in (0, π)$ ，且 $s i n θ = - 2 c o s θ$ ，则（）

A、 $t a n (π - θ) = 2$ B、 $c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $f (x) = s i n (x + θ)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、当 $g (x) = c o s θ c o s x + s i n θ s i n x$ 取得最大值时， $s i n x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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32. 已知 $t a n α = \frac{6 c o s α}{7 - s i n α}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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33. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 c o s π x (x \leq 0) \\ f (x - 2) + 1 (x > 0) \end{array}$ ，则 $f (\frac{23}{3}) =$ ．

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34. 已知 $t a n x = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{s i n x}{c o s 3 x c o s 2 x} + \frac{s i n x}{c o s 2 x c o s x} =$ .

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35. 已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $t a n α + \frac{1}{t a n α} = - \frac{10}{3}$

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值；

(3)、求 $2 s i n^{2} α - s i n α c o s α - 3 c o s^{2} α$ 的值．

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36.

(1)、已知角 $α$ 终边上一点 $P (- 4, 3)$ ，求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (\frac{3}{2} π - α)}{t a n (- π + α)}$ 的值；

(2)、化简求值： $(l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) \cdot (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) + {(\frac{64}{27})}^{- \frac{1}{3}}$

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37. 已知 $a \in (0, π)$ ，且 $s i n a + c o s a = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n 2 a =$ （）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $- \frac{12}{7}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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38. 设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则下列计算正确的是（）

A、 $c o s (α + β) < c o s (α - β)$ B、若 $s i n (α + \frac{π}{4}) c o s (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{6}$ ，则 $t a n α = 2$ C、若 $t a n α + t a n β = \frac{1}{c o s α}$ ，则 $2 β - α = \frac{π}{2}$ D、若 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} + \frac{1}{t a n β} = 0$ ，则 $α + β = \frac{3 π}{4}$

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39. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ ， $y$ ，恒有 $f (x + y) = f (x) f (\frac{π}{2} - y) + f (\frac{π}{2} - x) f (y)$ 成立.请写出满足上述条件的函数 $f (x)$ 的一个解析式.

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40. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x (s i n x + \sqrt{3} c o s x) - \sqrt{3}$ .

(1)、若 $f (α + \frac{π}{4}) = \frac{10}{13}$ ，求 $f (2 α - \frac{π}{12})$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x + \frac{π}{12}) + f (x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} f (x + \frac{π}{12}) f (x - \frac{π}{6})$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

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41. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sqrt{\frac{(1 + s i n α) (1 + c o s α)}{(1 - s i n α) (1 - c o s α)}} = 4 \sqrt{2} + 1$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{16}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2} - 1}{8}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} - 1}{16}$

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42. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{2 π}{3}), g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6}) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{5 π}{12})$ ，则下列结论正确的是（）

A、若动直线 $x = m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象的交点分别为 $A, B$ ，则 $| A B |$ 的长可为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、若动直线 $y = m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象的交点分别为 $A, B$ ，则 $| A B |$ 的长恒为 $\frac{π}{4}$ C、若动直线 $y = \pm m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 $\frac{π}{2}$ D、若 $f (m_{0}) = \frac{3}{5}$ ，则 $g (\frac{m_{0}}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}$

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43. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$ ，设函数 $f (x) = c o s π x + c o s \frac{π}{3}$ ，则 $f (\frac{a_{1}}{2023}) + f (\frac{a_{2}}{2023}) + f (\frac{a_{3}}{2023}) + ⋯ + f (\frac{a_{2022}}{2023}) =$ 。

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专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题