专题18 不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{2} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + s i n x < 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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2. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{\sin x}{\cos^{3} x}, x \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、当 $a = 8$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < \sin 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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3. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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4.

(1)、证明：当 $0 < x < 1$ 时， $x - x^{2} < s i n x < x$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = c o s a x - l n (1 - x^{2})$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a的取值范围．

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5. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 1$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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6. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x - x e^{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程：

(2)、证明 $f (x)$ 存在唯一的极值点

(3)、若存在a ，使得 $f (x) \leq a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立，求实数b的取值范围．

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7. 若函数 $f (x) = l n x - k x$ 有2个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ C、 $(0, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2} - x l n x$ 在 $[\frac{1}{e}, 2]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{2 e - 1}{e^{2}}]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, \frac{2 e - 1}{e^{2}})$ D、 $(- \infty, 2)$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{e})}^{x}, x \leq 0 \\ e x + \frac{1}{x}, x > 0 \end{array}$ ， $\forall x \in R, f (x) \geq a | x |$ ，则实数a的值可能是（）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、e

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10. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的最小值为.

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11. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{k}{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线与直线 $x = 2$ 垂直，求 $k$ 的值：（其中 $e$ 为自然对数的底数）；

(2)、在（1）的条件下求 $f (x)$ 的单调区间和极小值：

(3)、若 $g (x) = f (x) - x$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在增区间，求 $k$ 的取值范围．

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12. 已知函数 $f (x) = x l n x - m x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) + l n x + 3 > 0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值．

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13. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} (a + 3) x^{2} + 3 a x + 1$ 在 $x = - 3$ 时取得极大值，则实数a的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $[0, 3]$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(- \infty, 3) ∪ (3, + \infty)$

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14. 若 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ 是区间 $(m - 1, m + 4)$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - 5$ B、 $m \geq 3$ C、 $m \leq - 5$ 或 $m \geq 3$ D、 $- 5 \leq m \leq 3$

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15. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x - a$ 在 $(0, 1)$ 内有最小值，则a的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{9}{11}$

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16. 已知函数 $f (x) = a (x + 1) e^{x} - x^{3}$ ，若存在唯一的正整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 已知函数 $f (x) = {(\frac{3 x}{2} - a)}^{2} e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极小值．

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18. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x (a > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的极大值为 $1 - \frac{1}{e}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > \frac{1}{e}$ 时，若 $\forall x_{1} \in [1, + \infty), \exists x_{2} \in (- \infty, 0]$ 使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{e^{2 a}}{8} + 2 b \leq a + \frac{1}{2} l n b + 1$ ，则 $e^{a} + b =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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20. 已知直线 $y = k x + t$ 与函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的图象恰有两个切点，设满足条件的 $k$ 所有可能取值中最大的两个值分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，且 $k_{1} > k_{2}$ ，则（）

A、 $\frac{k_{1}}{k_{2}} > \frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{3} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{5} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{5}{3}$ D、 $\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{5}$

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21. 已知直线 $y = k x$ 与曲线 $y = l n x$ 相交于不同两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，曲线 $y = l n x$ 在点 $M$ 处的切线与在点 $N$ 处的切线相交于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则（）

A、 $0 < k < \frac{1}{e}$ B、 $x_{1} x_{2} = e x_{0}$ C、 $y_{1} + y_{2} = 1 + y_{0}$ D、 $y_{1} y_{2} < 1$

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22. 已知函数 $f (x) = x + l n x$ ， $g (x) = x l n x$ ，若 $f (x_{1}) = 2 l n t$ ， $g (x_{2}) = t^{2}$ ，则 $\frac{l n t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为．

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23. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{l n x}{x}$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $f (x)$ 存在零点，求a的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $a {(x_{1} + x_{2})}^{2} > 2$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} - 2 a x, a \in R$ ，

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $2 f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的最小值.

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25. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m ln x$ 在定义域内单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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26. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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27. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) + x^{2}$ ，在区间 $(2, 3)$ 内任取两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 9, + \infty)$ B、 $[- 7, + \infty)$ C、 $[9, + \infty)$ D、 $[7, + \infty)$

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28. 已知 $f (x) = (1 - x) e^{x - 1}$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2} + a$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{2}) \geq g (x_{1})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{e}, + ∞)$ B、 $(- ∞, \frac{1}{e}]$ C、 $(0, e)$ D、 $[- \frac{1}{e}, 0)$

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29. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2, x < 0 \\ e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ ，满足对任意的 $x ∈ R$ ， $f (x) \geq a x$ 恒成立，则实数a的取值可以是（）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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30. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x + 1 (a \in N_{+})$ ，若 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的可能取值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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31. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{^{'}}$ 若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则函数 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数．以下四个函数在 $(0, \frac{3 π}{4})$ 上是凸函数的是（）

A、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ B、 $f (x) = l n x - 2 x$ C、 $f (x) = s i n x + c o s x$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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32. 已知不等式 $a x \leq (2 x + 1) e^{x}$ 对任意 $x \in [1, + ∞)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围是．

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33. 已知不等式 $e^{x} \geq (2 a - 3) x$ 对任意 $x ∈ R$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是.

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34. 已知函数 $f (x) = l n x - 2 a x + 1$ ，若存在 $x > 0$ ，使得 $f (x) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 2$

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [- \frac{1}{2}, 2]$ 有解，求实数m的范围.

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36. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - m x + 2$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) \leq 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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37. 若 $x \in [0, + \infty)$ ， $x^{2} + a x + 1 \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、2 C、 $e - 1$ D、 $e - 2$

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38. 已知函数为实数，下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的 $f (x) = a x - l n x, g (x) = a l n x + \frac{1}{x}, a$ 极值点和极值 B、存在 $a \in R$ ，使 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的零点同时为2个 C、当 $a \in (0, 1)$ 时， $f (x) - g (x) \leq 1$ 对 $x \in [1, e]$ 恒成立 D、若函数 $f (x) - g (x)$ 在 $[1, e]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, \frac{2}{e}]$

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39. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} + 1), g (x) = e^{- x} - a, \forall x_{1} \in [- 1, 1], \exists x_{2} \in [0, 2]$ ，使不等式 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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40. 已知函数 $f (x) = x + 2 - a e^{x}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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41. 已知函数 $f (x) = x (a - \frac{l n x}{x}) (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $a = 1$ ，且 $f (x) ≤ \frac{k e^{x} - x}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围.

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42. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ 时，求证 $f (x) \geq 1$ 恒成立；

(2)、当 $a \geq 1$ 时， $f (x) \geq l n x + \frac{4}{5}$ ，求整数 $b$ 的最大值．

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43. 已知函数 $f (x) = l n x - x$ ， $g (x) = - x e^{- x}$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线分别是 $l_{1}$ ： $y = θ (x)$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、已知 $a f (x) + g (x) + 2 a < 0 (a \neq 0)$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）设函数 $F (x) = f (x + a) + \frac{a x}{g (x)} + x + a (x > 0)$ 的最大值为 $M$ ，比较 $M$ 与（1）中的 $θ (x)$ 的大小.

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专题18 不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、解答题

二、单选题

三、多选题

四、填空题

五、解答题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、解答题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、解答题

十四、单选题

十五、多选题

十六、填空题

十七、解答题

十八、单选题

十九、多选题

二十一、填空题

二十二、解答题

二十三、解答题