专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 函数 $f (x) = \cos x + (x + 1) \sin x + 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 的最小值、最大值分别为（）

A、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ B、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$ D、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$

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2. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $π$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3} ，$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A、 $[18 ， \frac{81}{4}]$ B、 $[\frac{27}{4} ， \frac{81}{4}]$ C、 $[\frac{27}{4} ， \frac{64}{3}]$ D、[18，27]

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4. 若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} (a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（）．

A、 $b c > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、 $a c < 0$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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6. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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7. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ ，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数 $f (x)$ 的大致图象的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{a (s i n x + c o s x)}{e^{x}} + x$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}})$ B、 $(- \infty, e^{π})$ C、 $(0, e^{π})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}, + \infty)$

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 是 $f (x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (x_{0})$ B、 $- x_{0}$ 是 $f (- x)$ 的极大值点 C、 $- x_{0}$ 是 $- f (x)$ 的极小值点 D、 $- x_{0}$ 是 $- f (- x)$ 的极小值点

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10. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且满足 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} f^{'} (1) - 2$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = \frac{1}{3}$ B、 $f (1) = 2$ C、 $f (x)$ 不存在极值 D、与 $f (x)$ 的图象相切的直线的斜率不可能为-4

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是．
①当 $x = \frac{3}{2}$ 时函数取得极小值；
② $f (x)$ 有两个极值点；
③当 $x = 2$ 时函数取得极小值；
④当 $x = 1$ 时函数取得极大值．

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 5]$ ，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x
$- 1$
0
2
4
5
$f (x)$
3
1
2.5
1
3
$f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增；
② $f (x)$ 有2个极大值点；
③ $f (x)$ 的值域为 $[1, 3]$ ；
④如果 $x \in [t, 5]$ 时， $f (x)$ 的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是．

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13. 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $x = t$ 为函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x} - 1} (x < 0)$ 的极值点，则 $f ([t]) =$ （）

A、 $\frac{2 e}{e - 1}$ B、 $\frac{3 e^{2}}{e^{2} - 1}$ C、 $\frac{4 e^{3}}{e^{3} - 1}$ D、 $\frac{5 e^{4}}{e^{4} - 1}$

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14. 设函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} - 3 l n x$ ，记 $f (x)$ 的极小值点为 $x_{1}$ ，极大值点为 $x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) =$ （）

A、2 B、 $2 l n 2$ C、 $3 l n 2$ D、 $- 3 l n 2$

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15. 若函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x) + \frac{2}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的极小值点为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $f (x)$ 有两个零点

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ ( $a$ 为常数)，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $2 x - y + 1 = 0$ B、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(e^{2}, + \infty)$ C、当 $a = e^{2}$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ ，且 $- 1 < x_{0} < - \frac{1}{2}$

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17. $f (x) = x^{2} e^{- x}$ 的极大值为．

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18. $f (x) = c o s x c o s 2 x$ 在 $x \in [0, π]$ 的极值点个数为个．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 在 $R$ 上无极值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{e}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{e}{2})$ C、 $[0, e)$ D、 $[0, \frac{e}{2}]$

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω \neq 0)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最值，且 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个极值点，则 $ω =$ （）

A、4 B、10 C、 $- 2$ D、 $- 8$

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21. 已知 $x = \frac{π}{4}$ 为函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x (a \neq 0, b \neq 0)$ 的极值点，则（）

A、 $a = b$ B、 $f (\frac{π}{4} - x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增

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22. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{3} + b$ ．若过原点可作函数的三条切线，则（）

A、 $f (x)$ 恰有2个异号极值点 B、若 $a > 0$ ，则 $b \in (0 ， a^{3})$ C、 $f (x)$ 恰有2个异号零点 D、若 $a < 0$ ，则 $b \in (a^{3} ， 0)$

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23. 如果函数 $f (x)$ 在区间[a ， b]上为增函数，则记为 $f (x)^{[a, b]}$ ，函数 $f (x)$ 在区间[a ， b]上为减函数，则记为 $f (x)_{[a, b]}$ .如果 $(\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}})^{[m, 8]}$ ，则实数m的最小值为；如果函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + 2 a^{2} x$ ，且 $f (x)_{[1, 2]}$ ， $f (x)^{[2, 3]}$ ，则实数 $a =$ .

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24. 若函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{ln x}{x}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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25. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足点 $(n, a_{n})$ 在直线 $y = \frac{2}{3} x - \frac{11}{3}$ 上， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $n S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 47$ B、 $- 48$ C、 $- 49$ D、 $- 50$

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26. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - l n x$ ， $a > 0$ ，若函数 $f (x)$ 没有零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + ∞)$ C、 $(\frac{1}{2}, 3)$ D、 $(1, 3)$

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27. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a l n x - 1$ ，则（）

A、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = 2 x - 2$ ，则 $a = 2$ B、若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(1, + \infty)$ C、若 $a > 0$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $a^{2} - 2 a l n a - 1$ D、若 $x \in [1, + \infty), f (x) \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 1]$

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28. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} + 2), g (x) = (x + 2) l n x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (a x) \geq f (l n x^{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 $\frac{2}{e}$ C、函数 $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上存在极值点 D、若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t (t > 0)$ ，则 $\frac{l n t}{x_{1} (x_{2} + 2)}$ 的最大值为 $\frac{1}{e}$

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29. 若 $x > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^{a}}{e^{2 x}} \geq 2 a l n x - 4 x + 1$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最大值为.

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30. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m e^{2 x}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，且最小值为 $\frac{2}{m}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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31. 设 $a$ 为实数，若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 3$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则 $a =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- 1$

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32. 若函数 $f (x) = e^{a x} + 2 x$ 有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）

A、 $a > - 2$ B、 $a > - \frac{1}{2}$ C、 $a < - 2$ D、 $a < - \frac{1}{2}$

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33. 若函数 $f (x) = x^{2} - x + a l n x$ 有极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{8}]$ B、 $(0, \frac{1}{8})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{8})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{8}]$

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34. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}$ B、 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$ D、 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 2 x$

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35. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线

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36. 设函数 $f (x) = (x + 1) l n (x + 1) (x > 0)$ ，若 $f (x) > (k - 1) x - 1$ 恒成立，则满足条件的正整数 $k$ 可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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37. 设函数 $f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有 $1$ 个极大值点 B、 $f (x)$ 有 $2$ 个极小值点 C、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = \sqrt{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点

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38. 已知函数 $f (x) = (x - 1) s i n x + (x + 1) c o s x$ ，当 $[0, π]$ 时 $f (x)$ 的最大值与最小值的和为．

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39. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值8，则 $f (1)$ 等于．

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40. 若方程 $x l n x + e^{x} + 1 - a x = 0$ 有两个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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41. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = (e - 2) x + 3 - e$ ．

(1)、求实数a ， b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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42. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - a x + a}{e^{x}}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x)$ 在区间 $[0, a]$ 上的最小值为 $\frac{1}{e}$ ，求a的值．

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43. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $(0, 2)$ ，则下列条件中，能推出1一定不是 $y = f (x)$ 的极小值点的为（）

A、存在无穷多个 $x_{0} \in (0, 2)$ ，满足 $f (x_{0}) < f (1)$ B、对任意有理数 $x_{0} \in (0, 1) \cup (1, 2)$ ，均有 $f (x_{0}) < f (1)$ C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上为严格减函数，在区间 $(1, 2)$ 上为严格增函数 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上为严格增函数，在区间 $(1, 2)$ 上为严格减函数

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44. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e^{2}}$ C、方程 $f (x) = 2$ 的解有2个 D、导函数 $f^{'} (x)$ 的极值点为 $- 3$

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45. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为T ，其图象关于点 $(\frac{4 π}{9}, 0)$ 中心对称，则T的最大值为；写出曲线 $y = f (x)$ 满足“在区间 $(0, π)$ 内恰有三个极值点”的一条对称轴方程为．

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46. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意 $[\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $f (x) \leq a x - 1$ ，求实数a的取值范围.

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47. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + \frac{e^{x + 1}}{x + e^{x}}$ （e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为R B、若函数 $f (x)$ 在 $P (0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{e^{2}}{2 e - 2}$ ，则 $a = 1$ C、当 $a = 1$ 时， $f (x) = m$ 可能有三个零点 D、当 $a = 1$ 时，函数的极小值大于极大值

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48. 已知 $2^{a} = {log}_{\frac{1}{2}} a, {log}_{2} b = {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则（）

A、 $a + 2^{a} = b + 2^{- b}$ B、 $a + b = 2^{b} + 2^{- a}$ C、 $2^{b} + 1 > e^{\frac{1}{a}}$ D、 $2^{a} > e^{1 - \frac{1}{b}}$

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49. 已知 $a \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = e^{3 x} - x^{a} > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为．

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专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、单选题

五、多选题

六、填空题

七、单选题

八、多选题

九、填空题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、单选题

十四、多选题

十五、填空题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题

二十四、解答题

二十五、单选题

二十六、多选题

二十七、填空题

x	$- 1$	0	2	4	5
$f (x)$	3	1	2.5	1	3