乘法公式—人教版数学八年级上册知识点训练

试卷更新日期：2024-11-05 类型：复习试卷

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一、夯实基础

1. 如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（）

A、 ${(m - n)}^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ B、 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ C、 ${(m - n)}^{2} = m^{2} - n^{2}$ D、 $m (m - n) = m^{2} - m n$

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2. 已知 $4 x^{2} - (m + 1) x + 9$ 是完全平方式，则常数 $m =$ ．

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二、能力提升

3. 若 $(a + b)^{2} = 49$ ， $a b = 12$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）

A、 $20$ B、 $25$ C、 $30$ D、 $35$

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4. 已知 ${(x - 2023)}^{2} + {(x - 2025)}^{2} = 4050$ ，则 ${(x - 2024)}^{2}$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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5. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$     ② ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
③ $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$      ④ ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（       ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）

A、 $a^{2} - b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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7. 阅读理解：
例：若 $m^{2} + 2 m n + 2 n^{2} - 6 n + 9 = 0$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值．
解： $∵ m^{2} + 2 m n + 2 n^{2} - 6 n + 9 = 0$
$∴ m^{2} + 2 m n + n^{2} + n^{2} - 6 n + 9 = 0$ 即 ${(m + n)}^{2} + {(n - 3)}^{2} = 0$
$∴ m + n = 0$ ， $n - 3 = 0$
$∴ m = - 3$ ， $n = 3$
我们把以上方法称为“拆项法”
请用拆项法解决问题：

(1)、 $x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ ，求 $x + y$ 的值；

(2)、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三边长，满足 $a^{2} + b^{2} = 10 a + 12 b - 61$ ， c是 $△ A B C$ 中的最短边长，且c为整数，那么c的值可能是______（有几个写几个）

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三、拓展创新

8. 阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图 $①$ 可以得到 $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ．请解答下列问题：

(1)、小明同学打算用如图 $③$ 的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为 $(3 a + 5 b) (4 a + 7 b)$ 的长方形，那么他总共需要张纸片A、张纸片B、张纸片 C；

(2)、写出图 $②$ 中所表示的数学等式；

(3)、利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 $a + b + c =$ $9 ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 23 ，$ 求 $a b + b c + a c$ 的值．

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9. 【阅读理解】
若 $x$ 满足 $(32 - x) (x - 12) = 100$ ，求 ${(32 - x)}^{2} + {(x - 12)}^{2}$ 的值．
解：设 $32 - x = a ， x - 12 = b$ ，则 $(32 - x) (x - 12) = a \cdot b = 100 ， a + b = (32 - x) + (x - 12) = 20$ ，
${(32 - x)}^{2} + {(x - 12)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 2 0^{2} - 2 \times 100 = 200$ ，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】

(1)、若 $x$ 满足 $(100 - x) (x - 95) = 5$ ，则 ${(100 - x)}^{2} + {(x - 95)}^{2} =$ ；

(2)、若 $x$ 满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2000)}^{2} = 229$ ，求 $(2023 - x) (x - 2000)$ 的值；

(3)、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 24 c m$ ，点 $E ， F$ 是边 $B C ， C D$ 上的点， $E C = 12 c m$ ，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C ， C B$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C B M N$ ，若长方形 $C B Q F$ 的面积为 $320 c m^{2}$ ，求图中阴影部分的面积和．

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10. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位 $.$ 那么形如 $a + b i (a ， b$ 为实数 $)$ 的数就叫做复数， $a$ 叫这个复数的实部， $b$ 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算： $(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i$ ．
      $i^{3} = i \cdot i \cdot i = i^{2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i$ ；
      $(1 + i) (2 + 3 i) = 1 \times 2 + 1 \cdot 3 i + i \cdot 2 + i \cdot 3 i = 2 + 3 i + 2 i + 3 \cdot i^{2} = 2 + 3 i + 2 i + 3 \times (- 1) = - 1 + 5 i$ ．

(1)、填空： $i^{5} =$   ， $2 i^{4} =$   ；

(2)、计算： $① (2 + i) (2 - i)$ ； $② (2 + i)^{2}$ ；

(3)、若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知： $(x + 3 y) + 3 i = (1 - x) - y i$ ， $(x ， y$ 为实数 $)$ ，求 $x + y^{2}$ 的值；

(4)、试一试：请你参照 $i^{2} = - 1$ 这一知识点，将 $m^{2} + 25 (m$ 为实数 $)$ 因式分解成两个复数的积．

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