浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题

试卷更新日期：2024-04-23 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |x - 1 \geq 0\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[1, 3)$

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $z$ 的实部为2 B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\bar{z} = 2 - i$ D、 $z$ 对应的点位于第一象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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4. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且 $- 3 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ B、 $\frac{3^{n} - 3}{2}$ C、 $\frac{3^{n + 1} + 3}{4}$ D、 $\frac{3^{n + 1} - 1}{4}$

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5. 已知x，y为正实数，则可成为“ $x < y$ ”的充要条件的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x + \ln y < y + \ln x$ C、 $\sin x < \sin y$ D、 $x - \cos y < y - \cos x$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 若 $a c o s C = 2 c c o s A$ ，则 $\frac{b c}{a^{2}}$ 的最大值为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $3$

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7. 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为 $24 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到 $12 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times \frac{11}{2} cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times 11 cm \times \frac{5}{2} cm$ 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M, N$ 分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，且满足 $∠ M F_{2} N = \frac{π}{3}$ ， $\vec{N F_{2}} = 2 \vec{M F_{1}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（）

A、成绩的第60百分位数为122 B、成绩的极差为36 C、成绩的平均数为125 D、若增加一个成绩125，则成绩的方差变小

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，且直线 $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， E为正方形 $A_{1} A D D_{1}$ 的中心，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹为抛物线 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球被平面 $A_{1} B C_{1}$ 所截得的截面面积为 $\frac{π}{6}$ C、直线 $C P$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、点 $M$ 为直线 $D_{1} B$ 上一动点，则 $M P + M E$ 的最小值为 $\sqrt{\frac{11 - 2 \sqrt{6}}{6}}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $\{x |x \neq 0\}$ 的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有 $f (x) f (y) = f (x y) + f (\frac{x}{y})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[2, + \infty)$ C、 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(x + 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（用数字作答）.

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13. 某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为.

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14. 已知关于x的不等式 $\ln x + 1 \leq a \sqrt{x} e^{\frac{a x - 1}{2}}$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ .

(1)、求 $a_{2024}$ （只需写出数值，不需要证明）；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项可以表示成 $a_{n} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \sin (ω n + φ) (0 < ω < 3, φ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ 的形式，求 $ω$ ， $φ$ .

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16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 $x_{i}$ （单位：百万元）和年销售量 $y_{i}$ （单位：百万辆）关系如图所示：令 $v_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 5)$ ，数据经过初步处理得：

$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有① $y = b x + a$ 和② $y = n \ln x + m$ 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)、请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)、根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?

(3)、该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量 $ξ$ 影响，设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (600, σ^{2})$ ，且满足 $P (ξ > 800) = 0.3$ .在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归直线 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
②参考数据： $\sqrt{40.3 \times 1.612} = 8.06$ ， $\sqrt{403} \approx 20.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ， $\ln 6 \approx 1.8$ .

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17. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 A_{1} B_{1}$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 6$ ， $C D = 9$ ， $A D = 6$ ，且 $A A_{1} = B B_{1} = 4$ ， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 中点，

(1)、求证： $B Q ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若四棱锥 $Q - A B B_{1} A_{1}$ 的体积为 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $9 x^{2} + 8 y^{2} = 81$ ，直线 $l$ ： $x = - 1$ 交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点， $△ T M N$ 的内切圆为圆Q.

(1)、求椭圆 $C$ 的焦点坐标；

(2)、求圆Q的方程；

(3)、设点 $P (1, 3)$ ，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求 $△ P A B$ 的周长.

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19. 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $f$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $f$ ： $A \to B$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\bar{\bar{A}} \neq \bar{\bar{B}}$ .
例如：对于集合 $A = N^{*}$ ， $B = \{2 n |n \in N^{*}\}$ ，存在一一对应关系 $y = 2 x (x \in A, y \in B)$ ，因此 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .

(1)、已知集合 $C = \{(x, y) |x^{2} + y^{2} = 1\}$ ， $D = \{(x, y) | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1\}$ ，试判断 $\bar{\bar{C}} = \bar{\bar{D}}$ 是否成立?请说明理由；

(2)、证明：① $\bar{\bar{(0, 1)}} = \bar{\bar{(- \infty, + \infty)}}$ ；
② $\bar{\bar{N^{*}}} \neq \bar{\bar{\{x |x \subseteq N^{*}\}}}$ .

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$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44	4.8	10	40.3	1.612	19.5	8.06