浙江省五校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-29 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如下表给出5组数据 $(x, y)$ ，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据 $(5, 3)$ ，则应去掉（）
$i$
1
2
3
4
5
$x_{i}$
5
4
3
2
$- 4$
$y_{i}$
3
2
7
1
$- 6$

A、 $(4, 2)$ B、 $(3, 7)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(- 4, - 6)$

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3. 已知点 $A$ 为曲线 $y = ln x + \frac{1}{x} + 3$ 上的动点， $B$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则线段 $A B$ 长度的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 在平面直角坐标系中，已知两点 $A (1, 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，点 $P$ 为动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3$ B、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ D、 $2 x^{2} + y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$

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5. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知 $m$ 为满足 $S = n + C_{100}^{2} + C_{100}^{4} + C_{100}^{6} + \cdot \cdot \cdot + C_{100}^{100} (n \geq 3)$ 能被 $9$ 整除的正整数 $n$ 的最小值，则 ${(x - \frac{1}{x})}^{m}$ 的展开式中，系数最大的项为（）

A、第6项 B、第7项 C、第11项 D、第6项和第7项

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7. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，且满足 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $- \frac{9}{10}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $- \frac{10}{11}$ D、 $- \frac{11}{10}$

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8. 已知双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $B$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，满足 $|P A| = \sqrt{3}$ ， $|P B| = 1$ ， $|A B| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 2$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、2

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知点 $P (1, a)$ 不在函数 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）图象上，且过点 $P$ 能作两条直线与 $f (x)$ 的图象相切，则 $a$ 的取值可以是（）

A、 $e$ B、 $\frac{e}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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10. 盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件 $A_{k}$ 表示“第 $k$ 次首次取出红球”，用事件 $B_{k}$ 表示“第 $(k + 1)$ 次取出编号为1的红球”，用事件 $C_{k}$ 表示“第 $(k + 1)$ 次取出编号为1的白球”，则（）

A、 $P (B_{1} ∣ A_{1}) < P (C_{1} ∣ A_{1})$ B、 $P (B_{2} ∣ A_{2}) = P (C_{2} ∣ A_{2})$ C、 $P (B_{3} ∣ A_{3}) > P (C_{3} ∣ A_{3})$ D、 $P (B_{4} ∣ A_{4}) < P (C_{4} ∣ A_{4})$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{4^{n} - 3}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 与数列 $\{4^{n} a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $R_{n}$ ， $T_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < \frac{1}{4}$ B、存在 $n$ ，使得 $T_{n} > \frac{1}{3}$ C、 $S_{n} < \frac{43}{39}$ D、 $R_{n} \geq 6 n^{2} - 5 n$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (x \leq 0) = 0.12$ ，则 $P (1 \leq x \leq 2) =$ .

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13. 甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有种不同的排法.

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $x ln x + e^{- x} \geq - x^{2} + a x$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，每次扑点球相互独立，互不影响.

(1)、甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为 $X$ ，试求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望（用最简分数表示）；

(2)、乙扑点球6次，其扑中次数为 $ξ$ ，试求 $ξ = 4$ 的概率和随机变量 $ξ$ 的方差（用最简分数表示）.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D$ 是正三角形且垂直于底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $P D$ ， $P B$ 上的动点

(1)、是否存在点 $E$ ，使得 $C E ⊥$ 平面 $P A D$ ？若存在，试求 $\frac{E P}{P D}$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、若直线 $A F$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，试求二面角 $A - D C - F$ 的平面角的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a ln \frac{x}{e^{x - 1}}$ ， $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 能否有3个零点？若能，试求出 $a$ 的取值范围；若不能，请说明理由.

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18. 已知 $F$ 为抛物线 $Γ$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $F$ 到抛物线 $Γ$ 的准线的距离为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、试求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，设动点 $A, B, C$ 都在抛物线 $Γ$ 上，点 $B$ 在 $A, C$ 之间.
（i）若 $A C = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；
（ii）若点 $B$ 坐标为 $(- 1, 1)$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C = \sqrt{n}$ ，求正整数 $n$ 的最小值.

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19. 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 为给定的常数（有时也可以是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ 为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于 $x$ 的二次特征方程： $x^{2} = p x + q$ ，若 $α$ ， $β$ 是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式 $a_{n} = A α^{n} + B β^{n}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是两个常数，可以由给定的 $a_{1}$ ， $a_{2}$ （有时也可以是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ）求出.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = - a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{n} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} {(2 + \sqrt{3})}^{n}$ ，试求 $a_{2024}$ 的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；

(3)、若定义域和值域均为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (f (x)) = 12 x - f (x)$ ，求 $f (x)$ 的解析式

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$i$	1	2	3	4	5
$x_{i}$	5	4	3	2	$- 4$
$y_{i}$	3	2	7	1	$- 6$